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1、河南省淇县2020学年高二数学上学期 3.4基本不等式导学案 沪教版 学习目标 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 学习过程 一、课前准备看书本97、98页填空复习1：重要不等式：对于任意实数，有，当且仅当_时，等号成立. 复习2：基本不等式：设，则，当且仅当_时，不等式取等号. 二、新课导学 学习探究探究1：基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不
2、等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为_.这样，4个直角三角形的面积的和是_，正方形的面积为_.由于4个直角三角形的面积_正方形的面积，我们就得到了一个不等式：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_结论：一般的，如果，我们有当且仅当时，等号成立.探究2：你能给出它的证明吗？特别的，如果，我们用、分别代替、，可得，通常我们把上式写作： 问：由不等式的性质证明基本不等？用分析法证明：证明：要证 (1)只要证 (2)要证（2），只要证 （3）要证（3），只 要证
3、 （4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 3）理解基本不等式的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？结论：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还 可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 典型例题 例1
4、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?. 动手试试练1. 时，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？ 三、总结提升 学习小结在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. 知识拓展两个正数1如果和为定值时，则当时，积有最大值.2. 如果积为定值时，则当时，和有最小值. 学习评价 自我评价 你完成本
5、节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知x0，若x的值最小，则x为（ ）.A 81 B 9 C 3 D16 2. 若，且，则、中最大的一个是（ ）.A B C D3. 若实数a，b，满足，则的最小值是（ ）.A18 B6 C D4. 已知x0，当x=_时，x2的值最小，最小值是_.5. 做一个体积为32，高为2的长方体纸盒，底面的长为_，宽为_时，用纸最少. 课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大
6、？2. 一段长为30的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 2020学年上学期高二年级数学学科使用时间：2020年10月编写教师： 裴炳丽审核组长： 审核主任：韩培银3.4基本不等式 (2) 学习目标 通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 学习过程 一、课前准备复习1：已知，求证：.复习2：若，求的最小值二、新课导学 学习探究探究1：若，求的最大值.探究2：求(x5)的最小值. 典型例题 例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150
7、元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例2 已知，满足，求的最小值. 总结：注意“1”妙用. 动手试试练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：.练2
8、. 若， ，且，求xy的最小值.三、总结提升 学习小结规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正.知识拓展1. 基本不等式的变形：；2. 一般地，对于个正数，都有，（当且仅当时取等号）3. 当且仅当时取等号） 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A若，则B若，则C若，则D若，则2. 已知，则函数的最大值是（ ）.A2 B3 C1 D3. 若，且，则的取值范围是（ ）.A BC D4. 若，则的最小值为 .5. 已知，则的最小值为 . 课后作业 1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
