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1、 (一) 二次函数的概念 二次函数、对称轴、顶点等.(二) 二次函数的图象和性质函数y=ax2 +k函数y=x2函数y=ax2函数y=a(xh)2函数y=a(xh)2k函数y=ax2 +bx+c目标几何变换二次函数的图象和性质() y=a(x-h)2+k (a0)的图象和性质解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k图象a0a0a0a0a0a0a0a0，开口向上；a0，当x=0时，y有最小值是0.若a0，当x=0时，y有最小值是k.若a0，当x=h时，y有最小值是0.若a0，当x=h时，y有最小值是k.若a0，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增
2、大.若a0时，y随x的增大而减小.同前若a0，当xh时，y随x的增大而减小，当xh时，y随x的增大而增大.若ah时，y随x的增大而减小.同前平移y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿y轴向上或向下平移个单位得到的，k为正向上，k为负向下.y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位得到的，h为正向右，h为负向左.y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象沿x轴向左或向右平移个单位，h为正向右，h为负向左；再沿直线x=h向上或向下平移个单位，k为正向上，k为负向下得到的. () y=ax2+bx+c (a0)的图象和性质图 象a0a0，开口向上a0，当时，y有
3、最小值是.若a0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大.若a0与x轴有两个公共点 (x1, 0)，(x2, 0)；=0与x轴有一个公共点 (, 0)；0与y轴交点在y轴正半轴；c0与x轴有两个公共点(x1, 0), (x2, 0)；=0与x轴有一个公共点(, 0)；0与x轴没有公共点.特别地a+b+c=0图象过点（1，0）； a-b+c=0图象过点（-1，0）例题1、已知二次函数的解析式是. （1）在直角坐标系中，用五点法画出它的图象；（2）当x为何值时，函数值y=0？（3）当-3x 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； 当m 时，y随x的增大而减小； 当m 0时，函数图象经
4、过同一个点.其中正确的结论有（ B ）A. B. C. D. 5、(2010湖北省荆门市)二次函数yax2bxc的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A. ab0B. ac0C. 当x2时，函数值随x增大而增大；当x2时，函数值随x增大而减小. -11D. 二次函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2bxc0的根.6、（2010玉溪市）如图是二次函数y=ax2+bx+c (a0)在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断 0；+0；2-0；2+8a4ac中，正确的是（填写序号） 、 Oxy7、（2010年天津市）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：（ D ）； 其中，正确结
5、论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 48、（2010毕节）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( C ) xxxxx9、（2010年兰州）抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ D ）10、（2010年崇文二模）矩形ABCD中，动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ A ）(三) 二次
6、函数y=ax2+bx+c图象的平移、翻折、旋转1、平移：a不变. 要抓顶点的平移或其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换，还可以引申到直线、双曲线的平移在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图. 2、翻折：要抓顶点的变化及其它关键点的变化.结论：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y= -ax2-bx-c 抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y= ax2-bx+c3、绕某一定点旋转180：要抓顶点的变化，a取相反数. 结论：抛物线y=a(x-h)2+k绕顶点旋转180后的解析式为y= -a(x-h)2+k例题1、观察右面二次函
7、数yax2+bx+c的图象，回答下面的问题：（1）判断a，b，c和的符号并写出顶点坐标；（2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，求平移后抛物线的解析式；（3）把抛物线沿x轴翻折，求翻折后抛物线的解析式.2、（2010桂林）将抛物线绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（ D ） A BC D3、将抛物线绕原点O旋转180，则旋转后抛物线的解析式为（ D ） A. B. C. D. 4、(2010遵义市)如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ A ） A8 B6 C10 D45、（2010毕节）把抛物线y=x+bx+c向右平移3个单位，再向
8、下平移2个单位，所得图象的解析式为y= x-3x5，则（ A）Ab=3，c=7 Bb=6，c=3yxOCb=9，c=5 Db=9，c=216、(2010台州市)如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为 -3，则点D的横坐标最大值为（ D ） A3 B1 C5 D8 7、（2010浙江温州）如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(4，0)，B(2，2). 连结OB，AB. (1)求该抛物线的解析式； (2)求证：OAB是等腰直角三角形；(3)将OAB绕点O按顺时针方向旋转l35得到OAB，写出OA
9、B 的边AB的中点P的坐标试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由.8、(2009年北京)已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数（1）求的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.解：（1）由题意：=24-8k0 k3 为正整数k=1，2，3 （2）当k=1时，方程有一根为0； 当k=2时，方程无整数根； 当k=3时，方程有两个非0的整数根. k=1，k=2不合题意舍去，k=3 当k=3时，二次函数为， 把它的图象向下平移个单位得到的图象解析式为 （3）设抛物线与x轴交于A、B两点，则A（-3，0），B（1，0） 依题意翻折后的图象如图所示.
