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1、1例 1.已知函数 f ( x) 二3 x 3 - ax 2 + b在x = -2处有极值.(1) 求函数 f (x) 的单调区间；(2 )求函数f (x)在-3,3】上有且仅有一个零点，求b的取值范围。例2 已知函数f（%）二3x3-弓x2,g（x）二3-kx，且f在区间（w）上为增 函数（1）求实数k的取值范围；（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围.解：由f （x）二1x 3 一 ax 23得 f(x) = 3x2 一 2ax 一 a2令 f (x) = 3x2 一 2ax 一 a2 = 0,得x =- , x = a(a 0)13 2当x变化时，f (x
2、),f(x)的变化情况如下表：x（一。一 3）a3(-即 a)a(a, +a)f (x)+00+f(x)/极大值X极小值/由上述表格可知，f( %)极大值=f (- 3)二(- 3)3 -a( - 3)2 -a 2( - 3)+1 二召a 3+1f (x)= f (a) = a3 一 a3 一 a3 +1 = 1 一 a3极大值由(1 )可知f (x)在(-3和(a，+4上单调递增，在(-a,a)上单调递减， 33a5当 0 a 0, f (x)=f(a)=l-a3 0极大值 327极小值y = f (x)在(-3，+s)上最多只有一个实数根，且此零点仅在a =1时取得3a又 y = f (x
3、)在(-3)上单调递增，且 f (-1) = a 2 - a = a (a -1) 0.y = f (x)在(s)上最多有一个实数根于是，当0 a 0在区间(2,+s)上恒成立 即 k +1 2 ,. k +1 2，故 k 1k的取值范围为k 1(2)设 h( x) = f (x) 一 g (x) = x. 一(k 21)x2 + kx 一 3 ,h (x)=x2 -(k+1)x+k=(x-k)(x-1) 令 h (x) = 0 得 x = k 或 x =1 由(1)知 k 0 , h(x)在R上递增，显然不合题意 当k 1时，h(x) , h(x)随x的变化情况如下表：x(s, k)k(k
4、,1)1(1,+Qh (x)+00+h( x)极大值k 3 k 21一 一 + 一 -623极小值k -12由于耳 0，即(k -1)( k 2 - 2k - 2) 0 .J 0解得k 1-芒综上，所求k的取值范围为k 1 - 3例3 （ 2007年高考天津理科卷）已知函数f（X）= 2ax - a2 +1（X e R），其中a丘RX 2 + 1（I）当a =1时，求曲线y = /（x）在点（2, f（2）处的切线方程； （n）当a丰0时，求函数/（X）的单调区间与极值。(2010山东理数)(22)(本小题满分14 分)1 a已知函数 f (x) = In x ax + 1 (a g R).x
5、1(I)当a g (x )，求实数b取值范围.12解(I)当 a =1时，曲线y = f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为6x + 25 y - 32二0。5）由于 a 丰 0，所以 f （丄 % C +1学 2 X 牛 - a 2 + -） =-2a（X - a） x2 +1 2由广(丄0，得X1 一 -，x2二a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的，(a，+8)内为减函数，在大小。因此，需对参数a的取值分a 0和a 0时，则X X。易得f (x)在区间f -8,-丄12V a丿区间为增函数。故函数f (x)在x = 11a-处取得极小值f -a丿二-a2 ；函数f (x)在X2
6、二a处取得极大值f (a)=】。(2) 当a x。易得f (x)在区间(-8, a)，(-丄,+8)内为增函数，在区-1处取得极小值f (-二-a 2 ；函数f(X)在12a间(a,-)为减函数。故函数f (x)在x =1a1 aX2二a处取得极大值f (a )= 1。解：(I)因为 f (x) = In x 一 ax + _ -1 ,x所以1a 一1 ax2 一 x +1 一 af(x) = 一 a +=x g (0, +s),xx 2x2h(x) = ax2 一 x +1 一 a, x g (0, +s),当 a = 0 时，+ E (On4w),听以当*(CU)时宀(対：0,此时/(A)
7、0 ,函数川力单调递减:当工E (1,400)吋，巾)0,函数了(X)单调递増.当aO时，由f (y即盘护一疋+ 1 & = 0,解彳辱= l?x2 = - 1 z a当a二时，x = x h (x)20恒成立/此时f(x)W0 /函数f (x)在(0, +a)2 1 2,上单调递减；当OVaV时丄一 110 ,2ax g (0,1)时，h(x)0，此时 f(x)VO，函数f (x)单调递减；1x g (1,-1)时h(x)V0，此时f(x)0，函数 f (x)单调递增； a1x g (- 1,+Q 时，h(x)0，此时f(x)V0，函数f (x)单调递减； a当aV0时，由于1 一 1V0，
8、ax g (0,1)，h(x)0,此时f(x)V0，函数 f (x)单调递减；x g (1,+s)时，h(x)V0，此时f(x)0，函数f (x)单调递增.综上所述：01(口)因为 a = g (0,)由(I)知，x =1, =3 电(0,2),当 x g (0,1)时,f(x)Y0 , 421217,+8L 8函数 f (x)单调递减；g(x) = g=8 -4b 0b e (2, +8) min 2x e (1,2)时，f(x)0，函数f (x)单调递增，所以f (x)在(0,2)上的最小值 为 f (1) =-2。由于“对任意x e (0,2)，存在x e 11,2 ，使f (x ) g
9、 (x )等价于1 2 1 2“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2 )上的最小值-(*)2又 g(x) = (x - b)2 + 4 - b2，x el1,2，所以1 当b Y1时，因为g(x)= g(1)= 5 - 2b a 0，此时与(*)矛盾min 当b et1,2 时，因为g (x)= 4 - b2 0，同样与(*)矛盾min 当b e (2, +8)时，因为g(x) = g=8 -4b，解不等式8-4b 乂min28综上，b的取值范围是L12, +8。L 8丿x(2010北京理数)(18)(本小题共13分)已知函数f (x )=1 n(1+ x)-x + -x2(k
10、0)o(口)求f (x)的单调区间。(II)f ( x)二x(kx + k-1)1 + xx当k = 0时，f(x)= 一.所以，在区间(-1,0)上，f(x) 0 ；在区间1+x(0,)上，f(x) 0 .故f (x)得单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0, +8).当 0 k 0 1+x12 k1-k1- k所以，在区间(-1,0)和(,+8)上，f(x) 0 ；在区间(0,)上， kkf(x) 1 时，f (x) = x(kx + k 一 D = 0，得 x =匕 G (-1,0) , x = 0 . 1+x1 k21-k1-k所以没在区间(-1,十)和(0, +8)上，f(x
11、) 0 ；在区间(十,0)上，f (x) 0）在（2,+8）上递增，求实数a的取值范围x6、若函数f（x）= 1 x3 -1 ax2 +（a-l）x +1在区间（1，4 ）内为减函数，在区32间（6,+8）上为增函数，试求实数a的取值范围。2、f(x) =1 x3一(1 + a)x2 + 4ax + 2a(a 1)讨论函数f(X)的单调性及极值34、已知函数f(x)二ax3-3x2+1- ?，讨论函数f(x)的单调性a解析：f (x) = 3ax2-6x+1(a0)2令 f (x)= 3ax2-6x+1(a/0axx=0 x2=1 2 a当a0时Xx2(导函数图象)x(-8,0)0(0,)aa(,+8)af,(x)+-+f(x)TIT2f(x)在(-8,0)和(2,+8)上为增函数，a2f(x)在(0,-)为减函数。a2当ax2二列表1 2 ax()(-8,)aa(2 ,-8)a8(0, + 8)
