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1、 . 知识点： 二面角的求法一、思想方法求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作或找出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种：方法一定义法即从二面角棱上一点在两个面分别引棱的垂线如图1。方法二三垂线法在二面角的一个面上一点P棱与另一个面分别引垂线PA、PB，连接AB，根据三垂线定理或逆定理，PAB为所求的二面角的平面角.如图2。方法三作垂面法作棱的垂直平面，那么这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角图3中MAN.方法四投影面积法一个平面a上的图形面积为S，它在另一个平面b上的投影面积为S，这两个平面的夹角为
2、q，那么S=Scosq或cosq=. 方法五异面直线法如图4中，平面a、b相交成q角，AC、BD分别在a、b上，且与棱垂直.假设AC=m，BD=n, CD=d，那么有AB2=m2+n2+d2-2mncosq，故cosq= 1在二面角两个面上两点间距离即|AB|的情况下，可以用此公式来求q.说明：原来的公式中q理解为两异面直线间的夹角，只取锐角或直角，故根据A、B的位置情况公式是AB2=m2+n2+d22mncosq.但二面角可以取钝角，故只需取“-号得出公式1.方法六空间向量法如图5，设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向侧，另一个指向外侧，那么二面角的平面角=。二、例题：例1在棱长为
3、1的正方体中，1求二面角的大小；2求平面与底面所成二面角的平面角大小例2如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小垂面法。例3在正方体AC1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1FFA=12，求平面B1EF与底面A1B1C1D1所成的二面角.例4矩形ABCD的两边AB=1，AD=，以BD为棱折成二面角，使AC=.求二面角A-BD-C的大小.图12例5正三棱柱的所有棱长均为，是侧棱上任意一点当时，求二面角的大小 例6如图，平面，假设，求二面角的正弦值例7如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，求二面角的大小三、课堂练习题1. 如图，ABCD-A
4、1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，那么面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 C2. 在立体图形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中点AC，BD交于O点求二面角QBDC的大小：90求二面角BQDC的大小603.平面平面，交线为AB，C，D，E为BC的中点，ACBD，BD=8求证：BD平面；求证：平面AED平面BCD；求二面角BACD的正切值4. 如图，ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120，求(1)A、D连线和直线BC所成角的大小；(2) 二面角ABDC的大小90arctg25.正方形
5、ABCD中，以对角线BD为折线，把ABD折起，使二面角A-BD-C为60，求二面角B-AC-D的余弦值。-6.如图平面SAC平面ACB，SAC是边长为4的等边三角形，ACB为直角三角形，ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值。课后练习：ABCB1C1A1NQ1. 三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。二面角B-B1C-A的正弦值为。2. 菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BDa，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。 (1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值 (2)求二面角AEFB的正切值。3. 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。答案：arctg4. 在直三棱柱ABCABC中，BAC90，ABBB1，直线BC与平面ABC成30的角.(如下图)(1)求点C到平面ABC的距离；(2)求二面角BBCA的余弦值. /
