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1、定积分计算的总结闫佳丽摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结. 在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：(1)定义法、(2)牛顿莱布尼茨 公式、(3)定积分的分部积分法、(4)定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿莱布尼茨公式、分部积分、换元.1 前言17 世纪后期，出现了一个崭新的数学分支数学分析.它在数学领域中占据 着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限 运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部 分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分.2 正文那么，究竟什么是定积分呢？我们给定
2、积分下一个定义:设函数f (x)在a,b 有定义，任给a,b一个分法T和一组己=，有积分和k&)小f(2 ，若当l(T) T 0时，积分和a(T,g)存在有限极限，设k =1lim a (T，g)= lim空/(gk)Axk= 1，且数I与分法T无关，也与g在x , x l(T)tOl(T)tO k kkk-1 kk =1的取法无关，即 Vs 0,35 O,VT: l (T) 5, Vg = g 有f (gk )Axk -1 ，kk=1则称函数f (x)在a,b可积，I是函数f (x)在a,b的定积分，记为Jbf (x)dx = lim X/(g戶广1 其中，a与b分别是定积分的下限与上限；a
3、l(T)tO k =1kf (x)是被积函数；f (x)dx是被积表达式；x是积分变量若当l(T) T 0时，积分 和a(T,g)不存在极限，则称函数f (x)在a,b不可积.定积分的几何意义也就是 表示x轴，x = a，x = b与y = f (x)围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类 可积函数：1、函数f (x)在闭区间a,b连续,则函数f (x)在闭区间a,b可积.2、函数f (x)在闭区间a,b有界，且有有限个间断点，则函数f (x)在闭区间 a, b可积.3、若函数f (x)在闭区间a,b单调,则函数f (x)在闭区间a,b可积.
4、在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按照定义计算定积分. 定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以I J bf (x)dx为例：任意分割，任意选取g作积分和再取极限任意分割任意取 akg 所计算出的 I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种 kg的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者g的取法下计算出来的值不相 kk同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计 算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取g 但是如果根据上述k三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和
5、的极限唯一性可作 a,b的特殊分法，选取特殊的g，计算出定积分.k第一步：分割.将区间a,b分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h = 匕，那么n分割点的坐标为(a,0), (a + h,0), (a + 2h,0)(a + (n- 1)h,0), (b,0)，g 在kLx ,x 上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的g，即左端点，右端 k -1 k k点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小 长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是兰f (g k )h .k=i第三步：取极限.1二lim无f (勺b二hlim无f (勺)，h T 0
6、即n *，也就是说分的越hTOhTOk=1k=1细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1、 用定义法求定积分I 1 xdx .0解：因为f (x) = X在0,1连续 所以f (x) = X在0,1可积将0,1等分成n个小区间，分点的坐标依次为0 v h 2h. nh = 1取g是小区间(k 1)h,kh的右端点，即g = kh于是kkI 1 xdx = lim khh = lim0n unT8n( n +1) (1 = limnTwn(n +1)2n 2= limnT8所以，11xdx
7、=0 2二、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数f (x)在区间a,b内必须连续。求连续函数f (x)的定积分只需求出f (x)的一个原函数，再按照公式 计算即可.定理：若函数f (x)在区间a,b连续，且F(x)是f (x)的原函数，贝VIb f(x)dx=F(b)F(a).a证明：因为F(x)是f (x)的原函数，即Vx ea,b有F(x) = f (x)积分上限函数I xf (t)dt也是f (x)的原函数所以(xf (t)d)= f (x)a所以 Jxf (t)dt- F
8、(x)二 Ca令 x = a 有 Ja f (t)dt - F(a) = C 即 C = 一F(a)a再令 x 二 b 有 J bf (x)dx = F(b) - F(a)a我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下， 微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来 极大的方便，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果， 有着重大的意义.例2、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分J1 xdx.01 1 1解：原式二_ x2 =-2 20同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算.三、定积分的分部积分法公式：函数u(x)
9、，v(x)在a,b有连续导数则J bu (x)dv (x)=au(x)v(x) |b -Jbv(x)du(x)aa证明：因为u(x)， v(x)在a,b有连续导函数所以u(x)v(x) = u(x)v(x) + v(x)u(x)所以 Jbu(x)v(x) =u (x)v( x) |b = Jbu( x)v( x) + v( x)u( x) dx = u (x)v( x) |ba即 Jbu(x)v(x)dx = u(x)v(x)|b - Jbv(x)u(x)dxaaa或 Jbu(x)dv(x) = u(x)v(x)|b - Jbv(x)du(x)aaa例3、 求定积分 J2 ln xdx .1解
10、 J2 In xdx = x In x|2 - J2 xd In x = 2ln 2 - 0 - x|2 = 2ln 2 -1四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法 求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算.公式：若函数f (x)在区间a,b连续，且函数x = 9 (t)在a,卩有连续导数，当a t P 时，有a p (t) b 贝U：Jbf (x)dx = J卩 f (p(t)lp(t)dt = fp f (p(t) 1/9(t)aaa证明：Jbf (x)d
11、x = F(x)|b = F(b) - F(a)aaJP f 9 (t) Ip (t) dt = F (p (t)a= F9(P)-F9(a)= F(b)-F(a)即 Jb f(x)dx = JP f 9(t)9(t)dt aa这个公式有两种用法：(1)、若计算 J bf (x)dx、a选取合适的变换x = 9(t)，由a, b通过b =9(t)， a =9 (t)分别解出积分、9把x = 9(t)代入 Jbf (x)dx 得到 JP f 9(t)lp(t)dt ；aa计算.例4、计算定积分Jaj02 一 x 2 dx O0解：设 x = asint 有 dx = a costdtx = 0日
12、寸,t = 0 ； x = a日寸,Ja Ja2 一 x2 dx = a2 J 2 cos2 tdt = (t002a2sin 2tK-2 兀=a 242)、计算 J卩 g(t)dt，其中 g(t) = f 9(t)9(t) 、把g (t)凑成f p(t)b(t)的形式； 、检查x = p (t)是否连续；、根据a与0通过x = p (t)求出左边的积分限a, b；、计算.例5、计算定积分f1 1 dt。一 14545 X 21解：令 1：5 4t = x，贝U t = 一， dt = xdx42当 t = 1 时，x = 3 ； 当 t = 1 时，x = 11 11 1所以原式二 f 11
13、(1 x)dx = 1 = 13 x 223上面这四种方法就是定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定 积分的几种计算方法，来体现定积分的计算.定积分的计算类型很多，要熟练地 进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握.其实，在实 际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样.定义法一般不常用，计 算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算.常用的就是其他三种，即牛顿- 莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法.在这三种方法中，牛顿-莱布尼茨公式比较常用，通过连续把定积分转换成 为不定积分再进行计算即可.但是转换成为不定积分后，有的被积函数不能直接 用现成的公式计算，那么
14、就要用不定积分的分部积分或者换元积分法求出一个原 函数再代入上下限进行计算，就复杂化了.因此，如果被积函数连续且可以用公 式直接求出原函数，那么就用牛顿-莱布尼茨公式进行计算.如果不能直接用公 式，那么为了简单化，就看被积函数是否可以用分部积分或者换元积分法，如果 可以，那么就选择分部积分或者换元积分法直接进行计算.3 参考文献1刘玉琏.数学分析讲义上册.高等教育出版社.2008.5 2马訾伟.数学分析讲义全程导学及习题全解.中国时代经济出版社.2009.9毕业论文题目：定积分计算的总结学校：集宁师范学院年级：数学系 09级班级：数学教育一班学号：200920520141姓名：闫佳丽指导教师：李林书2012 年 6 月 14 日
