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1、函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：恒成立；、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化措施:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值4、设函数、,对任意的，存在,使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、,存在，存在，使得,则7、设函数、，存在,存在,使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；、若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;例题解说:题型一、常用措施1、已知函数,其中，1)对任意，均有恒成立,求实数的取值范畴;）
2、对任意,均有恒成立,求实数的取值范畴; 2、设函数，对任意,均有在恒成立,求实数的取值范畴.3、已知两函数，对任意,存在，使得,则实数m的取值范畴为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范畴,整顿成有关这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范畴。2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,()求的值;()若上恒成立，求的取值范畴;题型三、分离参数法(欲求某个参数的范畴，就把这个参数分离出来）、当时,不等式恒成立,则的取值范畴是 .题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法）、若对任意，不等式恒成立,则实数的取值范畴是_2、已知函数，在恒有
3、，求实数的取值范畴。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性)的解决措施若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数,使得不等式有解，则实数的取值范畴为_。2、已知函数存在单调递减区间,求的取值范畴小结:恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的,如下充要条件应细心思考，甄别差别，恰当使用，等价转化,切不可混为一体。不等式对时恒成立,。即的上界不不小于或等于；不等式对时有解,。 或的下界不不小于或等于；不等式对时恒成立,。即的下界不小于或等于;不等式对时有解,.。 或的上界不小于或等于；课后作业：、设，若对于任意的,
4、均有满足方程,这时的取值集合为（ )(A) （B） （) （D）2、若任意满足的实数,不等式恒成立,则实数的最大值是 _. 、不等式有解，则的取值范畴是 4、不等式在内恒成立,求实数a的取值范畴。5、已知两函数，。（1)对任意,均有)成立,求实数的取值范畴；(2)存在，使成立，求实数的取值范畴;（)对任意，均有,求实数的取值范畴;()存在,均有，求实数的取值范畴；6、设函数. (）求函数的单调区间和极值; (）若对任意的不等式成立,求a的取值范畴。7、已知A、C是直线上的三点,向量,满足：.（1）求函数=f(x)的体现式；(2）若x0,证明：f(x);（3)若不等式时，及都恒成立，求实数m的取
5、值范畴、设,且(e为自然对数的底数）(I）求 p 与 的关系；（II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范畴;(III)设，若在上至少存在一点,使得成立,求实数 p 的取值范畴.函数专项4：恒成立问题参照答案：题型一、常用措施、分析：1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过度离变量,创设新函数求最值解决. 2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可简解:（)由成立,只需满足的最小值不小于即可对求导,故在是增函数，因此的取值范畴是. 2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一种参数，再解决另一种参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决.措施1：化归最值，;措施2：变量分离
6、，或；措施3：变更主元,，简解：措施1:对求导,，由此可知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意,得的取值范畴是、解析:对任意，存在，使得等价于在上的最小值不不小于在上的最小值0，既，题型二、主参换位法(已知某个参数的范畴,整顿成有关这个参数的函数)1、解:不等式即,设，则在-2,2上恒不小于0，故有:或、O （)分析：在不等式中浮现了两个字母:及,核心在于该把哪个字母当作是一种变量，另一种作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内有关的一次函数不小于等于0恒成立的问题。(）略解:由（）知：，在上单调递减，在上恒成立，,只需，(其中)恒成立,由上述结论：可令，则，,而恒成立,。题型
7、三、分离参数法(欲求某个参数的范畴,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范畴是 .解析: 当时,由得.题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）)1、解析:对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。2、分析:为了使在恒成立，构造一种新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒不小于等于的问题，再运用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令,则对恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足，即，解得。 当图象与x轴有交点,且在时，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： 解得,故由知。小结:若二次函数不小于恒成立，则有，同理
8、，若二次函数不不小于0恒成立,则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以运用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性)的解决措施若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.1、解:设,由有解，又，解得。2、解： 由于函数存在单调递减区间,因此有解即能成立, 设由得, .于是,，由题设,因此a的取值范畴是课后作业:1、B。解析：由方程可得,对于任意的，可得，依题意得。2、 答案：。解析：由不等式可得,由线性规划可得。、解：原不等式有解有解，而,因此。xy034、解:画出两个凼数和在上的图象如
9、图知当时,当，时总有因此、解析:（1）设,问题转化为时,恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且,，,，,由,得。(2)据题意:存在,使成立，即为:在有解，故,由（1）知,于是得。(3）它与(1）问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意,均有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，,的取值在上具有任意性,要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一种解。，即（4）存在，均有,等价于,由(3）得，,点评:本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，进一步思考,多加训练,精确使用其成立的充要条件。6、解:()(1分）令得的
10、单调递增区间为(,3a)令得的单调递减区间为(-，）和(3，）（4分）当a时，极小值当x=3时,极小值=.(分) （)由|a,得x24x-aa（分)0a2a.上是减函数 (9分）于是,对任意，不等式恒成立,等价于又 7、解：（1)-y2f /(1)+ln（x1)=0,=y+2 /(）ln(+1）由于A、B、C三点共线 即y /(1)ln(x+1)12分f()=ln（1)+1-2f （1)f()=，得f ()，故f(x)ln(x1）4分（2）令g（x)f（x),由g/（) ,/()0，（x）在(0，+）上是增函数分 故()g（0）0 即f（x）8分(3)原不等式等价于x2-（x2)m2-2bm
11、令h(x）x2-(2)=x2-ln(x2),由h/（x)=1分 当-，时,h()mx0，m2bm-3令Q(b）m223，则得m3或m31分8、解:() 由题意得 而，因此(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定义域 （,+） 内为单调函数，只需h(x)在 (,) 内满足:h(x）0 或 h（x)0 恒成立. 5分 当时,因此在 （0,+)内为单调递减,故； 当时,，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，,只需,即p1时, h（x)0，f （x) 在 (,) 内为单调递增，故 1适合题意. 综上可得，p或 p0另解：(II)由 (I) 知 f (x) = px-2n x (x) = p +
12、= p(1 )要使 f (x） 在其定义域 (0,) 内为单调函数,只需 f(x) 在 (0,+)内满足：f(x）0 或f(x)0 恒成立. 由 ()0 p （ + ）- pp()ax，x 0 =,且 x = 1 时等号成立，故 ()max= 1p1由 f()0 p ( + ) p p()mn，x 0而 且 0时, 0,故p0综上可得，p1或 p(III）g(x) 在 1，上是减函数x= e时，g()mi = , 1 时，()mx =2e即g(x) 2,2 分 p0 时，由 (II) 知 f (x） 在 1,e 递减 ()max f (1) =02,不合题意。 0 p 时,由x 1, x0f (x） = p(-)-2lxx-2ln x右边为 f（x)当 p = 1时的体现式，故在1,e递增 f(x）2lnxelne =e-2 2，不合题意。p1时,由() 知 f(）在，e持续递增, (1) = ()mn = 2,x 1, f (x
