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1、函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化:恒成立;、能成立问题的转化:能成立;3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M另一转化措施:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值4、设函数、,对任意的,存在,使得,则5、设函数、,对任意的,存在,使得,则6、设函数、,存在,存在,使得,则7、设函数、,存在,存在,使得,则8、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;、若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;例题解说:题型一、常用措施1、已知函数,其中,1)对任意,均有恒成立,求实数的取值范畴;)
2、对任意,均有恒成立,求实数的取值范畴; 2、设函数,对任意,均有在恒成立,求实数的取值范畴.3、已知两函数,对任意,存在,使得,则实数m的取值范畴为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范畴,整顿成有关这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范畴。2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,()求的值;()若上恒成立,求的取值范畴;题型三、分离参数法(欲求某个参数的范畴,就把这个参数分离出来)、当时,不等式恒成立,则的取值范畴是 .题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范畴是_2、已知函数,在恒有
3、,求实数的取值范畴。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的解决措施若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范畴为_。2、已知函数存在单调递减区间,求的取值范畴小结:恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的,如下充要条件应细心思考,甄别差别,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。不等式对时恒成立,。即的上界不不小于或等于;不等式对时有解,。 或的下界不不小于或等于;不等式对时恒成立,。即的下界不小于或等于;不等式对时有解,.。 或的上界不小于或等于;课后作业:、设,若对于任意的,
4、均有满足方程,这时的取值集合为( )(A) (B) () (D)2、若任意满足的实数,不等式恒成立,则实数的最大值是 _. 、不等式有解,则的取值范畴是 4、不等式在内恒成立,求实数a的取值范畴。5、已知两函数,。(1)对任意,均有)成立,求实数的取值范畴;(2)存在,使成立,求实数的取值范畴;()对任意,均有,求实数的取值范畴;()存在,均有,求实数的取值范畴;6、设函数. ()求函数的单调区间和极值; ()若对任意的不等式成立,求a的取值范畴。7、已知A、C是直线上的三点,向量,满足:.(1)求函数=f(x)的体现式;(2)若x0,证明:f(x);(3)若不等式时,及都恒成立,求实数m的取
5、值范畴、设,且(e为自然对数的底数)(I)求 p 与 的关系;(II)若在其定义域内为单调函数,求p的取值范畴;(III)设,若在上至少存在一点,使得成立,求实数 p 的取值范畴.函数专项4:恒成立问题参照答案:题型一、常用措施、分析:1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过度离变量,创设新函数求最值解决. 2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可简解:()由成立,只需满足的最小值不小于即可对求导,故在是增函数,因此的取值范畴是. 2、分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一种参数,再解决另一种参数以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.措施1:化归最值,;措施2:变量分离
6、,或;措施3:变更主元,,简解:措施1:对求导,,由此可知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意,得的取值范畴是、解析:对任意,存在,使得等价于在上的最小值不不小于在上的最小值0,既,题型二、主参换位法(已知某个参数的范畴,整顿成有关这个参数的函数)1、解:不等式即,设,则在-2,2上恒不小于0,故有:或、O ()分析:在不等式中浮现了两个字母:及,核心在于该把哪个字母当作是一种变量,另一种作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内有关的一次函数不小于等于0恒成立的问题。()略解:由()知:,在上单调递减,在上恒成立,,只需,(其中)恒成立,由上述结论:可令,则,,而恒成立,。题型
7、三、分离参数法(欲求某个参数的范畴,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范畴是 .解析: 当时,由得.题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法))1、解析:对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。2、分析:为了使在恒成立,构造一种新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒不小于等于的问题,再运用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。解:令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足,即,解得。 当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得: 解得,故由知。小结:若二次函数不小于恒成立,则有,同理
8、,若二次函数不不小于0恒成立,则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以运用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的解决措施若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.1、解:设,由有解,又,解得。2、解: 由于函数存在单调递减区间,因此有解即能成立, 设由得, .于是,,由题设,因此a的取值范畴是课后作业:1、B。解析:由方程可得,对于任意的,可得,依题意得。2、 答案:。解析:由不等式可得,由线性规划可得。、解:原不等式有解有解,而,因此。xy034、解:画出两个凼数和在上的图象如
9、图知当时,当,时总有因此、解析:(1)设,问题转化为时,恒成立,故。令,得或。由导数知识,可知在单调递增,在单调递减,在单调递增,且,,,,,由,得。(2)据题意:存在,使成立,即为:在有解,故,由(1)知,于是得。(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意,均有成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,,的取值在上具有任意性,要使不等式恒成立的充要条件是:。 ,在区间上只有一种解。,即(4)存在,均有,等价于,由(3)得,,点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,进一步思考,多加训练,精确使用其成立的充要条件。6、解:()(1分)令得的
10、单调递增区间为(,3a)令得的单调递减区间为(-,)和(3,)(4分)当a时,极小值当x=3时,极小值=.(分) ()由|a,得x24x-aa(分)0a2a.上是减函数 (9分)于是,对任意,不等式恒成立,等价于又 7、解:(1)-y2f /(1)+ln(x1)=0,=y+2 /()ln(+1)由于A、B、C三点共线 即y /(1)ln(x+1)12分f()=ln(1)+1-2f (1)f()=,得f (),故f(x)ln(x1)4分(2)令g(x)f(x),由g/() ,/()0,(x)在(0,+)上是增函数分 故()g(0)0 即f(x)8分(3)原不等式等价于x2-(x2)m2-2bm
11、令h(x)x2-(2)=x2-ln(x2),由h/(x)=1分 当-,时,h()mx0,m2bm-3令Q(b)m223,则得m3或m31分8、解:() 由题意得 而,因此(II)由 (I) 知 , 4分令,要使在其定义域 (,+) 内为单调函数,只需h(x)在 (,) 内满足:h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时,因此在 (0,+)内为单调递减,故; 当时,,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为,,只需,即p1时, h(x)0,f (x) 在 (,) 内为单调递增,故 1适合题意. 综上可得,p或 p0另解:(II)由 (I) 知 f (x) = px-2n x (x) = p +
12、= p(1 )要使 f (x) 在其定义域 (0,) 内为单调函数,只需 f(x) 在 (0,+)内满足:f(x)0 或f(x)0 恒成立. 由 ()0 p ( + )- pp()ax,x 0 =,且 x = 1 时等号成立,故 ()max= 1p1由 f()0 p ( + ) p p()mn,x 0而 且 0时, 0,故p0综上可得,p1或 p(III)g(x) 在 1,上是减函数x= e时,g()mi = , 1 时,()mx =2e即g(x) 2,2 分 p0 时,由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 ()max f (1) =02,不合题意。 0 p 时,由x 1, x0f (x) = p(-)-2lxx-2ln x右边为 f(x)当 p = 1时的体现式,故在1,e递增 f(x)2lnxelne =e-2 2,不合题意。p1时,由() 知 f()在,e持续递增, (1) = ()mn = 2,x 1, f (x