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1、7.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)-平面向量及其应用平面向量及其应用 第9讲1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用(复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视( 2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等(会用向量解决某些简单的几何问题( ?1. 在中，AB,a，AD,b，AN,3NC，M为BC的中点，则MN,_.(用a、b表示) 设a与b是两个不共线向量，且向量a，b与,(b,2a)共线，则,_. 2.3.若向量a，b满足|a|,1，|b|,2且a与b的夹
2、角为，则|a,b|,_. 3ab4.已知向量P,，其中a、b均为非零向量，则|P|的取值范围是_( |a|b|,11,【例1】 已知向量a,，b,(2，cos2x)( ，,sinxsinx,，0，(1) 若x?，试判断a与b能否平行, ,2，,，0，(2) 若x?，求函数f(x),a?b的最小值( ,3，【例2】 设向量a,(4cos，sin)，b,(sin，4cos)，c,(cos，,4sin)( (1) 若a与b,2c垂直，求tan(，)的值; (2) 求|b，c|的最大值; (3) 若tantan,16，求证:a?b. 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室
3、联系电话: Mail: ?2【例3】 在?ABC中，已知2AB?AC,3|AB|?|AC|,3BC，求角A，B，C的大小( 【例4】 已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m,(a，b)，n,(sinB，sinA)，p,(b,2，a,2) . (1) 若mn，求证:?ABC为等腰三角形; ?(2) 若mp，边长c,2，角C,，求?ABC的面积 . ?3?1. (2008?安徽)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB,(2,4)，AC,(1,3)，?则BD,_. ?2.(2011?上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB,3，BD,1，则AB?AD,_. 23
4、.(2011?江苏)已知e，e是夹角为的两个单位向量，a,e,2e，b,ke，e，若a?b1212123,0，则实数k的值为_. 4.(2011?浙江)若平面向量，满足|,1，|?1，且以向量，为邻边的平行四边形1的面积为，则与的夹角的取值范围是_( 25.(2010?江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(,1，,2)、B(2,3)、C(,2，,1)( (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; ?(2) 设实数t满足(AB,tOC)?OC,0，求t的值( 6.(2011?陕西)叙述并证明余弦定理( 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话
5、: Mail: ?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、(2010?江苏泰州一模)(本小题满分14分)在c. (1) 设向量x,(sinB，sinC)，向量y,(cosB，cosC)，向量z,(cosB，,cosC)，若z(x?，y)，求tanB，tanC的值; 22(2) 已知a,c,8b，且sinAcosC，3cosAsinC,0，求b. 解:(1) 由题意:x，y,(sinB，cosB，sinC，cosC)，(1分) ? z?(x，y)， ? cosB(sinC，cosC),cosC(sinB，cosB)， ? cosBsinC，cosCsinB,2cosBcosC，(3分) cos
6、BsinC，cosCsinB? ,2， cosBcosC即:tanB，tanC,2. (6分) sinAcosC，3cosAsinC,0， (2) ? sinAcosC，cosAsinC,2cosAsinC，(8分) ? sin(A，C),2cosAsinC， 即:sinB,2cosAsinC.(10分) 222b，c,a? b,2c?，(12分) 2bc2222? ,b,b，c,a， 22222即:a,c,2b，又a,c,8b， 2? 2b,8b， ? b,0(舍去)或4.(14分) 第9讲 平面向量及其应用 ?1. 已知?ABC外接圆的圆心为O，BCCAAB，则OA?OB，OA?OC，OB
7、?OC的大小关系为_( ?【答案】 OA?OB,OA?OC,OB?OC 解析: 0,?AOB,?AOC,?BOC,，y,cosx在(0，)上单调减，? cos?AOB,cos?AOC,cos?BOC, ? OA?OB,OA?OC,OB?OC. tanA2c2. 在?ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1，,. tanBb(1) 求角A; C2,cosB，2cos(2) 若m,(0，,1)，n,，试求|m，n|的最小值( ,2,凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: tanA2csinAcosB2sinC解: (1) 1，,，,，
8、tanBbsinBcosAsinBsinBcosA，sinBcosB2sinC即,， sinBcosAsinBsin，A，B，2sinC1? ,，? cosA,. sinBcosAsinB2? 0,A,， ? A,. 3C2(2) m，n,(cosB,2cos,1),(cosB，cosC)， 22122222,B2B,? |m，n|,cosB，cosC,cosB，cos,1,sin. ,3,6,222,0，? A,，? B，C,，? B?. ,3,337从而,2B,. 66612,2B,? 当sin,1，即B,时，|m，n|取得最小值. ,6,322所以，|m，n|,. min2基础训练 13
9、1111?1. ,a，b 解析:MN,(a，b),(a，b),a，b. 444244,2m,1，,1,2. ,0.5 解析:a，b,m,(b,2a)，则,. 2,m,223. 3 解析: |a,b|,a，b,2a?b,1，4,212cos,3. 34. 0,2 解析:设a与b的夹角为，则|P|,1，1，2cos,2，2cos(?0，)( 例题选讲 ,11,，0，例1 解:(1) 若a与b平行，则有?cos2x,?2，因为x?，sinx?0，所以,2，sinxsinx得cos2x,2，这与|cos2x|?1相矛盾，故a与b不能平行( 2,cos2x2,cos2x1，2sinx21(2) 由于f(
10、x),a?b,，,2sinx，又因为sinxsinxsinxsinxsinx1113,，,，0，x?，所以sinx?， 于是2sinx，?22sinx?,22，当2sinx,，0，,3，sinxsinxsinx2,，2即sinx,，x,时取等号，故函数f(x)的最小值等于22. 24变式训练 已知向量m,(sinA，cosA)，n,(1，,2)，且m?n,0. (1) 求tanA的值; (2) 求函数f(x),cos2x，tanAsinx(x?R)的值域( 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: 点拨: 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，
11、本题主要考查平面向量数量积的坐标运算( 解: (1) m?n,sinA,2cosA,2. 132,sinx,(2) f(x),cos2x，2sinx,2， ,2,2? x?R, ? sinx?,1,1， 13当sinx,时，f(x)取最大值;当sinx,1时，f(x)取最小值,3.所以函数f(x)的值域223，,3，为. ，2，例2 (1)解:b,2c,(sin,2cos，4cos，8sin)，a与b,2c垂直， ? 4cos(sin,2cos)，sin(4cos，8sin),0，sin(，),2cos(，)，即tan(，),2. (2) 解:b，c,(sin，cos，4cos,4sin)，
12、22|b，c|,，sin，cos，16，cos,sin，,17,15sin2?17，15,42， |b，c|的最大值为42. (3) 证明:由tantan,16得sinsin,16coscos， 即4cos4cos,sinsin,0，所以a?b. 变式训练 已知向量a,(sin，cos,2sin)，b,(1,2)( b，求tan的值; (1) 若a?(2) 若|a|,|b|,0,，求的值( 解: (1) 因为a?b，所以2sin,cos,2sin， 1于是4sin,cos，故tan,. 422(2) 由|a|,|b|知，sin，(cos,2sin),5， 2所以1,2sin2，4sin,5.
13、从而,2sin2，2(1,cos2),4，即sin2，cos2,1， 2,2，于是sin,. ,4,29又由0,知，,2，,， 44457所以2，,或2，,. 44443因此,或. 24例3 解:设BC,a，AC,b，AB,c， 3?由2AB?AC,3|AB|?|AC|得2bccosA,3bc，所以cosA,， 2又A?(0，)，因此A,. 6?222由 3|AB|?|AC|,3BC得bc,3a，于是sinC?sinB,3sinA， 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: 53313,C所以sinC?sin,，sinC?,， cosC，sin
14、C,6,4422,2因此2sinC?cosC，23sinC,3，sin2C,3cos2C,0， ,2C,即sin,0. ,3,54由A,知0,C,，所以,2C,， 663332从而2C,0或2C,，即C,或， 336322故A,，B,，C,或A,，B,，C,. 636663例4 (1) 证明:? m?n，? asinA,bsinB. ab即a?,b?，其中R是三角形ABC外接圆半径，a,b， 2R2R? ?ABC为等腰三角形( ，即a(b,2)，b(a,2),0，? a，b,ab， (2) 解:由题意可知m?p,02222由余弦定理可知，4,a，b,ab,(a，b),3ab，即(ab),3ab,4,0. 11? ab,4或,1(舍去)，? S,absinC,4sin,3. 223高考回顾 ?1. (,3，,5) 解析:取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3)(由BC,AD得D(,1，,1)(即BD,(,3，,5)( 15215?
