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1、7.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)-平面向量及其应用平面向量及其应用 第9讲1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用(复习时应强化向量的数量积运算,向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视( 2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透,如数形结合思想、转化与化归思想等(会用向量解决某些简单的几何问题( ?1. 在中,AB,a,AD,b,AN,3NC,M为BC的中点,则MN,_.(用a、b表示) 设a与b是两个不共线向量,且向量a,b与,(b,2a)共线,则,_. 2.3.若向量a,b满足|a|,1,|b|,2且a与b的夹
2、角为,则|a,b|,_. 3ab4.已知向量P,,其中a、b均为非零向量,则|P|的取值范围是_( |a|b|,11,【例1】 已知向量a,,b,(2,cos2x)( ,,sinxsinx,,0,(1) 若x?,试判断a与b能否平行, ,2,,,0,(2) 若x?,求函数f(x),a?b的最小值( ,3,【例2】 设向量a,(4cos,sin),b,(sin,4cos),c,(cos,,4sin)( (1) 若a与b,2c垂直,求tan(,)的值; (2) 求|b,c|的最大值; (3) 若tantan,16,求证:a?b. 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室
3、联系电话: Mail: ?2【例3】 在?ABC中,已知2AB?AC,3|AB|?|AC|,3BC,求角A,B,C的大小( 【例4】 已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m,(a,b),n,(sinB,sinA),p,(b,2,a,2) . (1) 若mn,求证:?ABC为等腰三角形; ?(2) 若mp,边长c,2,角C,,求?ABC的面积 . ?3?1. (2008?安徽)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB,(2,4),AC,(1,3),?则BD,_. ?2.(2011?上海)在正三角形ABC中,D是BC上的点,AB,3,BD,1,则AB?AD,_. 23
4、.(2011?江苏)已知e,e是夹角为的两个单位向量,a,e,2e,b,ke,e,若a?b1212123,0,则实数k的值为_. 4.(2011?浙江)若平面向量,满足|,1,|?1,且以向量,为邻边的平行四边形1的面积为,则与的夹角的取值范围是_( 25.(2010?江苏)在平面直角坐标系xOy中,点A(,1,,2)、B(2,3)、C(,2,,1)( (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长; ?(2) 设实数t满足(AB,tOC)?OC,0,求t的值( 6.(2011?陕西)叙述并证明余弦定理( 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话
5、: Mail: ?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、(2010?江苏泰州一模)(本小题满分14分)在c. (1) 设向量x,(sinB,sinC),向量y,(cosB,cosC),向量z,(cosB,,cosC),若z(x?,y),求tanB,tanC的值; 22(2) 已知a,c,8b,且sinAcosC,3cosAsinC,0,求b. 解:(1) 由题意:x,y,(sinB,cosB,sinC,cosC),(1分) ? z?(x,y), ? cosB(sinC,cosC),cosC(sinB,cosB), ? cosBsinC,cosCsinB,2cosBcosC,(3分) cos
6、BsinC,cosCsinB? ,2, cosBcosC即:tanB,tanC,2. (6分) sinAcosC,3cosAsinC,0, (2) ? sinAcosC,cosAsinC,2cosAsinC,(8分) ? sin(A,C),2cosAsinC, 即:sinB,2cosAsinC.(10分) 222b,c,a? b,2c?,(12分) 2bc2222? ,b,b,c,a, 22222即:a,c,2b,又a,c,8b, 2? 2b,8b, ? b,0(舍去)或4.(14分) 第9讲 平面向量及其应用 ?1. 已知?ABC外接圆的圆心为O,BCCAAB,则OA?OB,OA?OC,OB
7、?OC的大小关系为_( ?【答案】 OA?OB,OA?OC,OB?OC 解析: 0,?AOB,?AOC,?BOC,,y,cosx在(0,)上单调减,? cos?AOB,cos?AOC,cos?BOC, ? OA?OB,OA?OC,OB?OC. tanA2c2. 在?ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1,,. tanBb(1) 求角A; C2,cosB,2cos(2) 若m,(0,,1),n,,试求|m,n|的最小值( ,2,凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: tanA2csinAcosB2sinC解: (1) 1,,,,,
8、tanBbsinBcosAsinBsinBcosA,sinBcosB2sinC即,, sinBcosAsinBsin,A,B,2sinC1? ,,? cosA,. sinBcosAsinB2? 0,A,, ? A,. 3C2(2) m,n,(cosB,2cos,1),(cosB,cosC), 22122222,B2B,? |m,n|,cosB,cosC,cosB,cos,1,sin. ,3,6,222,0,? A,,? B,C,,? B?. ,3,337从而,2B,. 66612,2B,? 当sin,1,即B,时,|m,n|取得最小值. ,6,322所以,|m,n|,. min2基础训练 13
9、1111?1. ,a,b 解析:MN,(a,b),(a,b),a,b. 444244,2m,1,,1,2. ,0.5 解析:a,b,m,(b,2a),则,. 2,m,223. 3 解析: |a,b|,a,b,2a?b,1,4,212cos,3. 34. 0,2 解析:设a与b的夹角为,则|P|,1,1,2cos,2,2cos(?0,)( 例题选讲 ,11,,0,例1 解:(1) 若a与b平行,则有?cos2x,?2,因为x?,sinx?0,所以,2,sinxsinx得cos2x,2,这与|cos2x|?1相矛盾,故a与b不能平行( 2,cos2x2,cos2x1,2sinx21(2) 由于f(
10、x),a?b,,,2sinx,又因为sinxsinxsinxsinxsinx1113,,,,0,x?,所以sinx?, 于是2sinx,?22sinx?,22,当2sinx,,0,,3,sinxsinxsinx2,,2即sinx,,x,时取等号,故函数f(x)的最小值等于22. 24变式训练 已知向量m,(sinA,cosA),n,(1,,2),且m?n,0. (1) 求tanA的值; (2) 求函数f(x),cos2x,tanAsinx(x?R)的值域( 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: 点拨: 平面向量与三角结合是高考中的一个热点,
11、本题主要考查平面向量数量积的坐标运算( 解: (1) m?n,sinA,2cosA,2. 132,sinx,(2) f(x),cos2x,2sinx,2, ,2,2? x?R, ? sinx?,1,1, 13当sinx,时,f(x)取最大值;当sinx,1时,f(x)取最小值,3.所以函数f(x)的值域223,,3,为. ,2,例2 (1)解:b,2c,(sin,2cos,4cos,8sin),a与b,2c垂直, ? 4cos(sin,2cos),sin(4cos,8sin),0,sin(,),2cos(,),即tan(,),2. (2) 解:b,c,(sin,cos,4cos,4sin),
12、22|b,c|,,sin,cos,16,cos,sin,,17,15sin2?17,15,42, |b,c|的最大值为42. (3) 证明:由tantan,16得sinsin,16coscos, 即4cos4cos,sinsin,0,所以a?b. 变式训练 已知向量a,(sin,cos,2sin),b,(1,2)( b,求tan的值; (1) 若a?(2) 若|a|,|b|,0,,求的值( 解: (1) 因为a?b,所以2sin,cos,2sin, 1于是4sin,cos,故tan,. 422(2) 由|a|,|b|知,sin,(cos,2sin),5, 2所以1,2sin2,4sin,5.
13、从而,2sin2,2(1,cos2),4,即sin2,cos2,1, 2,2,于是sin,. ,4,29又由0,知,,2,,, 44457所以2,,或2,,. 44443因此,或. 24例3 解:设BC,a,AC,b,AB,c, 3?由2AB?AC,3|AB|?|AC|得2bccosA,3bc,所以cosA,, 2又A?(0,),因此A,. 6?222由 3|AB|?|AC|,3BC得bc,3a,于是sinC?sinB,3sinA, 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路1号B座808室 联系电话: Mail: 53313,C所以sinC?sin,,sinC?,, cosC,sin
14、C,6,4422,2因此2sinC?cosC,23sinC,3,sin2C,3cos2C,0, ,2C,即sin,0. ,3,54由A,知0,C,,所以,2C,, 663332从而2C,0或2C,,即C,或, 336322故A,,B,,C,或A,,B,,C,. 636663例4 (1) 证明:? m?n,? asinA,bsinB. ab即a?,b?,其中R是三角形ABC外接圆半径,a,b, 2R2R? ?ABC为等腰三角形( ,即a(b,2),b(a,2),0,? a,b,ab, (2) 解:由题意可知m?p,02222由余弦定理可知,4,a,b,ab,(a,b),3ab,即(ab),3ab,4,0. 11? ab,4或,1(舍去),? S,absinC,4sin,3. 223高考回顾 ?1. (,3,,5) 解析:取A(0,0)则B(2,4),C(1,3)(由BC,AD得D(,1,,1)(即BD,(,3,,5)( 15215?