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1、郑州师范学院毕业论文 题 目 迭代法及其在数值求解 线性方程组中的应用 姓 名 陈丹丹 学 号 124103052041 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年级班级 B12数应2班 指导教师 王明建 2016年 5 月 20 日毕业论文作者声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进
2、行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。本毕业论文内容不涉及国家机密。论文题目：迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用作者单位：郑州师范学院作者签名：目 录摘要1引言31.预备知识3 1.1迭代法的基本形式3 1.2 Jocabi迭代法4 1.2.1分量形式的Jacobi迭代法4 1.2.2矩阵形式的Jacobi迭代法5 1.2.3 Jacobi迭代法的算法实现步骤6 1.3 Gauss-Seidel迭代法6 1.3.1分量形式的Gauss-seidel迭代法6 1.3.2矩阵形式的Gauss-seidel迭代法6 1.3.3 Gauss-Seidel迭代法的算法实现步骤
3、7 1.4超松弛迭代法（SOR迭代法）7 1.4.1分量形式的SOR方法7 1.4.2矩阵形式的SOR方法8 1.4.3 SOR迭代法的算法实现步骤9 1.5迭代法的收敛性92. 数值求解线性方程组10 2.1用Jacobi迭代法求解10 2.2用Gauss-Seidel迭代法求解11 2.3用超松弛迭代法求解12小 结13参考文献15致谢16迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用摘要：迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到的近似解的方法。而线性方程组的求解问题是科学研究及工程计算中最常出现的问题，如结构分析、网络分析、数据分析、大地测量等，都需求解线性方程组。由于从不同的问题而导出的线性方程组的
4、系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵(零元素很多的多阶矩阵，一般)所对应的线性代数方程组，用迭代法求解，在某些精度要求比较高的问题中，经常用迭代法求解。其基本思想为：从某一初始向量出发，按照某种迭代规则，不停地对上一次的近似值进行修正，得到近似解的向量。当近似解收敛于方程组的精确解向量时，满足给定精度要求的近似解向量就可看作是的数值解。关键词：线性方程组；迭代法；Jacobi法；Gauss-Seidel法；逐次超松弛法Iterative Method and Its Application to Numerical Solution of Linear EquationsAbstract：Ite
5、rative method is the approximate solution obtained by successive iteration. The problem of solving linear equations is the most common problems in scientific research and engineering calculation, such as structural analysis, network analysis, data analysis, geodetic survey, etc., all need solution o
6、f linear equations. Due to the different problems of different and the coefficient matrix of the linear equations derived from, so for large sparse matrix corresponding to the system of linear algebraic equations, is solved by iterative method. In certain accuracy requirement is relatively high, oft
7、en solved by iterative method. The basic idea is as follows: starting from a certain initial vector, according to some kind of iterative rule, the last time approximation is corrected, and the approximate solution is obtained. When the approximate solution converges to the exact solution of the equa
8、tion, the approximate solution vector which satisfies the given accuracy requirement can be regarded as the numerical solution.Keywords：linear equations; iterative method; Jacobi method; Gauss-Seidel method; successive over relaxation method引言一般情况下，对于中小型方程组，直接法是非常有效并且迅速的，而对于高阶并且系数矩阵稀疏的线性方程组，尤其是大型线性方
9、程组，却遇到了难题。因为直接法的计算量大，存储量大，连非零元素也要存储。因而对于大型的线性方程组，常常用迭代法来求解。迭代法与直接法是有差异的，它不能直接通过有限次的算术运算求出方程的精确解，而是间接的通过迭代来逐步逼近此方程组的精确解。因此，考虑其收敛性是使用迭代法的关键问题。迭代法较直接法有明显的优势：程序设计简洁，存储量和计算量少等。尤为重要的是，迭代法是解决具有大型稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。1.预备知识为了更深入的学习迭代法在数值求解线性方程组中的应用，我们有必要回顾一下迭代法的基本知识。1.1迭代法的基本形式设有线性方程组， （1.1.1）其中为非奇异矩阵，向量，因此有唯一
10、的解。下面介绍迭代法的基本格式。将方程组（1.1.1）变形可得到等价的线性方程组， （1.1.2） 任取初值向量为（1.1.1）的近似解，由公式 （1.1.3）可构造出向量序列，若满足下面的式子， （1.1.4） 则迭代法收敛，就是方程组（1.1.1）的解，反之，迭代法就发散。而式子（1.1.3）为迭代格式，为迭代矩阵，为第次迭代的近似的解，而为第次的近似误差。1.2 Jocabi迭代法1.2.1分量形式的Jacobi迭代法对线性方程组，有分量形式： （1.2.1）（1）设，用其它的个变元来表示线性方程组的第个方程中的第个变元，就可得到： (1.2.2)也既是： (1.2.3)（2）用迭代格式
11、写出来就是： (1.2.4)也就是： (1.2.5)(3)任意给定的初值向量代入式(1.2.4)就可逐步算出向量序列，且。当向量序列收敛时，对于事先给定的精度要求(为一个很小的正数)，就有也即是方程组的近似解。1.2.2矩阵形式的Jacobi迭代法假设线性方程组（1.2.1）的系数矩阵A为非奇异，并且对于对角线上的元素，那么就可将矩阵分解成 (1.2.6)若令则有 ,即 可替换为 ，变形为：，因为 ，那么 ，得到迭代公式如下：， (1.2.7)若令 ；，就有 ，那么就称公式(1.2.7)矩阵形式的Jacobi迭代格式，称为Jacobi迭代矩阵。以上为Jacobi迭代格式的两种不同形式，在讨论收
12、敛性的时候，主要用Jacobi迭代格式的矩阵形式，而在实际的应用计算中，则需要用到Jacobi迭代格式的分量形式。1.2.3 Jacobi迭代法的算法实现步骤步1.输入必要的初始数据，及(迭代的最大次数)步2.对做到步5其过程为：步3.对做 步4.若，则输出停机。否则 步5.对做 步6.输出“超出最大迭代次数”，停机。1.3 Gauss-Seidel迭代法1.3.1分量形式的Gauss-seidel迭代法对于公式（1.2.5），可将公式右端前个分量的上标由换成，可得到分量形式的Gauss-seidel迭代法。 （1.3.1）1.3.2矩阵形式的Gauss-seidel迭代法对方程组 ，由前文知
13、 。由于 ,因此 等价于 ，解得 ，所以 （1.3.2）可得到迭代格式 （1.3.3）若令 ,，那么 （1.3.4）公式（1.3.4）就是矩阵形式的Gauss-Seidel迭代格式，是Gauss-Seidel迭代矩阵。1.3.3 Gauss-Seidel迭代法的算法实现步骤步1.输入必要的初始数据，及（迭代的最大次数）步2.对,做到步4其过程为：步3.对做 ， ， 步4.若，则输出，停机。步5.输出“超出最大迭代次数”，停机。1.4超松弛迭代法（SOR迭代法）对于解线性方程组，一般来说，Jacobi迭代法的收敛速度缓慢，在实际的生活中很少运用。Gauss-Seidel迭代法虽说比Jacobi迭代法收敛的速度稍快，但收敛的速度也不是说特别明显，因此就需要对其修改，提高收敛的速度。而逐次超松弛迭代法（又称SOR方法）就是对修改后的迭代法的一种加速。它的计算公式简洁，但为了使其在迭代的过程中保持较快的迭代速度，选择合适的松弛因子是关键。1.4.1分量形式的SOR方法设线性方程组，其中系数矩阵为非奇异的，,，第步迭代近似值记为，那么 （1.4.1）表示近似解的残余误差，则有加速
