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1、全等三角形常见辅助线的作法【知识梳理】1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。2、全等三角形的判定方法有：SA”、“SA、“A”、SSS、H” 3全等三角形的性质：1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。2）全等三角形的周长、面积相等。4全等三角形常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 的“旋转”.3）遇到角平分可以自角平分线上的某一点向角利用边作维模式是三角形全等变换中的 所考知识点常常是角平分线的性
2、质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起 识解答.【例题精讲】D例1:已知，图中AC3,则中A的取值范围是例2：已知等腰直角三B中形AGBCB平分ABC求证BBQCDB【巩固】 1如图所示，已知在C，DB边上的中线是A上一点，B1AC延长交ACFF, 求证AF=EF.C2已知AB中,ADF分 BACABA
3、C 求证ABAGBDDC3如图所示，已知AB边DABAD启AS60 , BCSI20，求证GDCAC.例3:如图，已知在中,B%0 , AB的角平分线CE目交于点求证OEOD例4如图，在中,BA的平分线的垂直平分Q的垂直平分交于点过点分别作PNAB于N PMLA（于点M求证BNCM例5: A为AB的角平分线,M直ADA E为M上一点求证B Pa.长记为，AB周长记为【拓展正方形BCD,E为B上的一点为C上的一点1EDIFEF求EA的度数BCE【课后练习】1 如图,BAC60 , C40 ,P平分BA交BCPB平分ABCA于Q 求证 ABBPBQAQ2如图AB中,EF分别在BA上,DEDFD是中
4、点，试比较3 如图，B中,A平分BACDGBC&平分CDEABFE DFA于F.1）说明ECF勺理由；F2）如果鼻a，AGb，求AEBE勺长【专题】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法【例】如图，四2B若（ZABBC且 DE0 ;解答：BC=AD+AE.连接 AC,过 E 作 EF II BC交 AC 于 F 点.丁 / B=60 ,AB=BC, ABC 为 等边三角形，/ EF II BC, / AEF 为等边三角形.即 AE=EF , / AEF= /AFE=60 .所以/CFE=120 .（ 3 分）又 ADI BC, / B=
5、60 故 / BAD=120 .又/ DEC=60 ,/ AEF=60 . 所以/ AED= /FEC.（ 1 分）在 ADE与厶 FCE 中，/ EAD=Z CFE, AE=EF , / AED= / FEC,所以 ADE FCE. 所以AD=FC.（1分）则BC=AD+AE.（1分）点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角 形解决问题.【巩固】已知：如图Be在，B求证ACAECD60，启AC启C的角平分线C相交于在AC上截取CF=CD，连OF，由已知得 COD COF ,/ COD= / COF= / AOE ,/ COA=180 - (/ BCA+
6、/ BAC ) /2=180 (180-60 /2=120 / COD= / COF= / AOE=60 ,/ AOF=60 , AOF AOE ,AF=AE , CD+AE=CF+AF=AC 。（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明 短法）【例已知：如所示，正方形CDF在上,E在B上，EAF 45求证ERBEDFCE【例】已知：如图,CDgAaCIDA扇B!中形BC求证：梯形是等腰梯形【例】已知：如图,在梯形ADBCE1C的中点，ABBE.求证ABBCAB【巩固】如图所示，梯形ADBCE是C的中点,ABBCAB 求证DEAE【例】如图，梯AWCD,A
7、BCDCE BE分别平分和鸟E为A的中点求证A BDCBC【巩固】1 如图已知，BC, BIAD,AC=BID,OB=OC2如图所示，已知C为等边三角形，延长延长到E并且AEBD连结EDEEC3已知：如图所示CPADBCAECF求证：窿左D求证ECEDAE4已知：如图所示,C 中，C 90 , AC BC, AD DB, AE CF。求证DEDF5已知：如图所示AC，A 90 , AE BF, BD DC求证FDED6.如图已知AB中 ZBAC=90B=ACJBDfD, CJEAE于E 求证BD=DE+CE7如图 DE AB 于E , DF AC 于F , 若BD CD、BE CF ,(2直接
8、写出 AC 与AE之间的等关系 (1求证：D平分BAC ;& 如图： ABC是等边三角形， AE=CD , AD、BE相交于点 P, BQ丄AD于Q, PQ=3, PE=1 , 求AD的长.BD C9如图，O是等边内一点,AOB10BOC,=将OC点按顺时针方向旋转使2(-60)+(190-)=1,80a =1 若AO=AD-a0=190- a =12若AD=OD-6Q)+2(1a0-=1,80ZDQC得至ADC连接D1）求证:COD等边三角形.2）当=50AOO时，试判AOA的数量关系，并说明理由.3)探究:a为多少度时AO等腰三角形?解:1）因为ADQZBOC所以OC=CDBCO曲CD又zBCO+ACO=60所以0CD=ACO+ACD=6所以心0是等边三角形由念DQZBOC所以 4DCi=BOC=15所以 ADOWADG-ODC=150-60因为 AOB=11 =1度0,所以 AOC=360-110-150=100所以zA0D=1Q0C0D=100-60所以ZAOD是直角三角形)ZADOa6Q ZAOD=360-1a300=190分三种情况，若AO=OD
