离散傅里叶变换DFT

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1、图7-29离散傅里叶变换的图解分析离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换是为适应数字计算机而提出来的，它是数字信号处理的数学基础。图7-29为离散傅里叶变换的图解法推演过程。图(a)为一连续时间信号x(t)和它的傅 里叶变换X(f)。若要求在数字计算机上进行频谱分析，首先要对x(t)进行采样使其离散化。 于是x(t)乘以图(b)所示的周期脉冲信号p(t)，得到图(c)所示的采样信号xs(t)，显然采 样信号的频谱X(f)与原连续信号的频谱Xf)是不同的，它是X(f)*Pf)的结果，在频域产生了 “混叠”，若采样间隔为T,则采样频率f=l/T，该频率混叠出现在1/2T (即f/2)附近。如 前

2、所述，若Xf)的带宽有限，最高频率为fm则只要采样频率Q2fm,就不会产生频混；若X(f) 不是带宽有限的，则不管采样频率 fs 有多高,频混都不可避免。只能通过选择较小的采样间 隔Ts (即较高的采样频率fs)来减小这种误差。至此，采样信号xs(t)仍有无限多个采样点，而计算机只能计算有限多个点，因此还需要 对xs(t)进行时域截断，截断长度为T取出有限的N点。于是用以矩形窗函数g(t)与其相乘。 同样根据频域卷积定理，N个有限点的离散信号xs(t)g(t)的频谱函数为Xf *G(f)，此时频谱出现了“皱波”（见图 e）。图（e）所示的频谱是连续的，仍不是计算机可接受的。为此，还要将其离散化

3、，即乘 以频域周期脉冲信号D（f），根据时域卷积定理，频域两信号相乘对应于时域作卷积，其结果 如图（g）所示。这里要注意，应使频域采样脉冲D （f）的采样间隔f=1/T，以保证在时域 作卷积时不会产生“混叠”。图（g）所示的是无限长的离散傅里叶变换对，同原来的x（t）与Xf）这一傅里叶变换对 相比较，它们在时域和频域都周期化了。这是因为在时域上采样使得频域周期化（见图 c） ; 而在频域上采样又使得时域周期化（见图（g）。计算机所能给出的是有限区间上的离散傅里 叶变换，因此我们从图（g）中分别取一个周期的N个时域采样值和N个频域采样值，最终 得到与原连续信号x（t）及其傅里叶变换X（f）相对应的有限离散傅里叶变换对。分别称为离散 傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶逆变换（IDFT），各自的定义式为：k = 0,1,2,.，N 1X (k) = D F zEx (n) = x (n) e -j 2 n nk /N7-37)n=0R=0n = 0,1,2,. , N 1