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1、偏微分方程数值解试题（0B)参照答案与评分原则信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵对称，定义，若,则称称是的驻点(或稳定点).矩阵对称（不必正定)，求证是的驻点的充要条件是:是方程组 的解解:设是的驻点，对于任意的,令， （3分),即对于任意的,，特别取，则有,得到. (3分) 反之，若满足，则对于任意的,因此是的最小值点 (4分)评分原则：的展开式3分， 每问分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题:其中建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的形式和形式的变分方程。解: 设为求解函数空间,检查函数空间.取，乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) ，即变分问
2、题的形式 （分) 令,则变分问题的形式为求,使 （4分）评分原则:空间描述与积分环节分，变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三(20分)、对于边值问题（）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。(2）取，求边值问题的数值解（写出相应的方程组的矩阵形式,并求解)(3)就和的一般状况写出相应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表达)。解: (1) 区域离散,差分格式为 (5分)应用展开得到,截断误差为，其阶为 (分)（2) 未知量为,矩阵形式为,其中 (分)求解得到解为 (3分）4,-1，1，；-1,4,-1；-1，0,4,-1；,-,1,4 = 00 -0.50
3、00 -0.500 1.935 -0.129 64 0 0 193220.52 0 1.16u 0.6 0.333 0.66 0.333(3) 矩阵为, (5分)评分原则:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分，解3分()5分, 形式3分,B的形式2分四(2分)、对于初边值问题（1）建立向前差分格式(最简显格式）,推导截断误差的主项,指出误差阶;(2)写出差分格式的矩阵形式（即的形式)，用矩阵措施分析格式的稳定性(3)建立六点对称格式（格式) 并写出计算形式,应用措施(分离变量法）分析格式的稳定性。解：(） 区域离散，格式为 ， (分）应用展开得到,误差主项为,阶为 (3分)(
4、2) , (4分)稳定条件为 （3分)（3) 格式为, （分)低阶项归入中,格式是无条件稳定的 (2分)五（0分)、逼近的三层差分格式分析格式的稳定性解:计算形式为 （2分)此为三层格式,化为两层格式令,则有 （分） 令,代入格式,消去公因子,得到 （分） 放大矩阵为,特性方程为，,的充要条件为方程有相似的复根或一对共扼复根,即.考虑到的变化,稳定条件为 (分）六（分)、建立波动方程的初值问题的显格式，推导截断误差，推导格式稳定的必要条件解:差分格式为， (3分)截断误差为，阶为 (分)分析稳定性必要条件 （4分)七（0分）、对于二维抛物型方程建立差分格式,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。解:差分格式为 （分)误差阶为(3分)放大因子为,恒稳定. (3分)八.用措施求边值问题的第次近似，基函数解:(1）边界条件齐次化:令，,则满足齐次边界条件,且 (3分)第次近似取为,其中满足的方程为 （分)又由三角函数的正交性,得到 而于是得到 最后得到 (4分)
