考研 线性代数 笔记精华 线性方程组

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1、线代框架之线性方程组1.线性方程组的形式:线性方程组的矩阵式 ,其中 向量式 ,其中2.齐次线性方程组一定有零解,有非零解推论1:当mn(即方程的个数未知数的个数)时,齐次线性方程组必有非零解。推论2:当m=n,齐次线性方程组有非零解的充要条件是 注:(其中n为未知数的个数)一个齐次线性方程组的基础解系不唯一3.非齐次线性方程组解的判定:注:(导出组有非零解=有解)非齐次有解注意:n个未知数n个线性方程的线性方程组可用克拉默法则判断解的存在情况:系数行列式D0则有解且解唯一。(若无解或有两个不同解则D=0)4.线性方程组解的性质:5线性方程组经初等变换化为阶梯形方程后,每个方程中的第一个未知量

2、通常称为主变量,其余的未知量称为自有变量如何确定自有变量并赋值:(1)对系数举矩阵作初等行变换化为阶梯形 (2)由R(A)确定自有变量的个数n-R(A) (3)找出一个秩为R(A)的矩阵,则其余的n-R(A)列对应的就是自由变量 (4)每次给一个自由变量赋值为1,其余的自由变量赋值为0(注意:共需赋值n-R(A)次)注:只有知道R(A),才能知道基础解系或通解的结构。非齐次线性方程组的求解方法:(1)对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形 (2)求导出组的一个基础解系 (3)求方程组的一个特解(为简捷,可令自由变量全为0) (4)按解的结构写出通解注:当方程组中含有参数时,分情况讨论要严谨,不要丢情况,此时的特解往往比较繁琐。6.齐次方程组与同解(列向量个数相同)矩阵与的行向量组等价(左乘可逆矩阵)R(A)=R(B)设为矩阵,若,一定有解,当时,一定不是唯一解,则该向量组线性相关. 是的上限.

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