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1、幂函数综合题型探析幂函数作为常见的函数模型，可以和许多问题联系在一起，是重要的知识交汇点，也是课标高考易于考查的考点，值得我们重视。下面对有关幂函数的综合题型归纳探析。一、信息迁移型例1 若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。解析：设，因为点在的图象上，所以，所以，即；又设，点在的图象上，所以，所以，即。在同一坐标系下画出函数和的图象，如图1，则有。 y f(x) f(x) g(x) g(x) -1 o 1 x 图1根据图象可知函数的最大值等于，单调递增区间是；递减区间是。点评：幂函数是新课标新增加的内容，虽然幂函数的形式多种多样，图象和性质较为复杂，学
2、习起来有一定的难度，但考试要求不是很高，只要掌握简单的个幂函数的有关图象与性质即可，所以要重视对个简单幂函数的研究，熟练掌握其图象和性质，在考试中一般会以这些简单函数为载体，考查函数的有关问题。本题在两个函数和的基础上定义了一个新的函数，的实质是取和中的较小者，这类问题借助图象来解决，直观形象，其最值和单调区间容易求出，所以要重视数形结合思想的运用。二、图象变换型例2 若函数在区间上是递减函数，求实数的取值范围。解析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。由于，所以函数的图象是由幂函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，所以其图象如图2。 y y=(3x-5)/(x-2)
3、 3 0 2 x y=1/x 图2其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。提示：函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为，在和上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以经过对的图象变换得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。三、讨论性质型3. 已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论的奇偶性。解析：由在上是减函数得，。， 。又因为是偶函数，只有当时符合，故。于是 ，。当且时，为非奇非偶函数；当且时，为奇函数；当且时，为偶函数；当且时，为既奇又偶函数。点评：本题是利用幂函数的定义和性质求解解析式，根据函数奇偶性的
4、定义讨论奇偶性的。四、开放探索型例4 已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数。（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；（2）对于（1）中求得的函数，设函数。问是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。解析：（1）幂函数在上是增函数，又，在定义域上是偶函数，只有当符合，故。（2）由，则。假设存在实数，使得满足题设条件。令，则。在上是减函数，当时，；当时，。 若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则在上是减函数，且在上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是即，。故存在实数 ，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。点评：本题是一道综合题，是幂函数性质的综合应用。
