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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!习题精解解题方法与例题分析一、已知运动方程（位置矢量），计算位移、速度和加速度。计算（瞬时）速度和加速度一般用求导的方法：位置矢量（运动方程）对时间求导即为速度，速度对时间求导就是加速度。计算位移、平均速度、平均加速度可先由始末时刻确定始末位置，再由定义计算。例1 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为一、已知运动方程求r及通过求导求v、a，并判断物体作何种运动。 （其中a、b为常量），则该质点作何种形式的运动？解 由质点的位置矢量 得运动方程 轨道方程 ， 质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为非零恒量，故该质点在xy平面内作匀变速直线运动
2、，其轨道方程为。例2 某质点的运动方程为 x =2t7t3+3（SI），则该质点作何种形式的运动？并确定加速度的方向。解 由质点的运动方程 x =2t7t3+3得质点的速度 质点的加速度 质点的加速度为时间的函数，故该质点作变加速直线运动；加速度为负，说明加速度方向沿x轴负方向。例3 一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x =5t2 3t3 (SI)。试求：（1）在第2秒内的平均速度；（2）第2秒末的瞬时速度；（3）第2秒末的加速度。解 （1）由平均速度的定义：（2）由定义 时，有 （3）由定义 时，有 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!例4 在离船高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v
3、0收绳（绳原长l0），使船靠岸，如图11所示，试描述船的运动。图11解 建立如图坐标系，显然船在x轴上作直线运动。t时刻绳长为船的运动方程为 速度为 方向沿x轴负向。加速度为 方向沿x轴负向。可见，船作加速直线运动，离岸越近，x越小，a越大。例5 已知质点的运动方程x=2t，y=4t2（SI）。试求任一时刻质点的速度、切向加速度、法向加速度、总加速度的大小。解 由运动方程可求得质点速度的x、y分量, 速度大小为 同理：， m/s2所以加速度大小为 m/s2切向加速度： 法向加速度：二、已知加速度及初始条件，计算速度和运动方程。此类问题是前一类问题的逆过程，加速度对时间的积分即为速度，速度对时间
4、的积分就是运动方程。解决此类问题时应注意由初始条件确定积分上下限。例6 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为 a=3+6x2（SI）。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解 设质点在任意位置x处的速度为v，则 分离变量，两边积分：如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!得 例7 一艘正在行驶的汽船，当关闭发动机后，沿一直线运动，加速度与船速的平方成正比且反向，即，其中常量k0。若关闭发动机时汽船的速度为v0，求：（1）关闭发动机后t时刻的汽船速度；（2）关闭发动机后的t时间内，汽船行驶的距离。解 以汽船为研究对象，由于它做减速直线运动，所以取汽船运动方向为坐标轴x
5、的正方向，坐标原点选择在刚关闭发动机的位置处。（1）按直线运动的加速度公式有 由题意，代入上式，有 分离变量 已知t=0时，并设t时刻的速度为v，对上式取定积分 （2）由 有 分离变量，两边取定积分，有 由此得汽船的运动方程为 汽船在t时间内行驶的距离 例8 一质点从静止出发沿半径为R=3m的圆周运动，切向加速度为。求：（1）经过多少时间它的总加速度恰好与半径成45角？（2）在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解 已知，即 由初始条件: t =0时，得质点的瞬时速率质点的法向加速度的大小为 这样总加速度为： 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!其中为沿半径指向圆心的单位矢量，
6、为切向单位矢量。（1）设总加速度与半径夹角为，则有： ， 当=45时，有，即要求3t2 =3，t =1s（另一负根舍去）所以t =1s时，总加速度与半径成45角。（2）由 和初始条件：t =0时，s0=0 ，得：将t =1s 代入，求出这段时间内的路程：由角位移与路程的关系 当t =1s时, 三、利用角量与线量的关系解题。例9 质点P在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度w与时间t的函数关系为w =kt2（k为常量）。已知t =2s时质点P的速率为16m/s，试求t =1s 时，质点P的速度与加速度的大小。解 首先确定k值：所以有 ， 时，1-1某质点的速度为，已知t=0时它
7、经过点（3，7），则该质点的运动方程为（ ）A. B. C. D.不能确定解：本题答案为B.因为 所以 于是有 即 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!亦即 故 1-2 一质点在平面上作曲线运动,时刻位置矢量为，时刻的位置矢量为，求：（1）在时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出及 。解 （1）在时间内质点的位移矢量式为 （2）该段时间内位移的大小 该段时间内位移的方向与轴的夹角为 （3）坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动，其运动方程为 ，其中 以 计， 以 计，求：（1）第3s末质点的位置；（2）头3s的位移大小；（3）头3s内经
8、过的路程。 解 （1）第3s末质点的位置为（2）头3s的位移大小为 （3）因为质点做反向运动是有，所以令，即因此头3s内经过的路程为 1-4 已知某质点的运动方程为，式中以计，和以计。（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出到这段时间内质点的平均速度；（3）计算末末质点的速度；（4）计算末和末质点的加速度。解 （1）由质点运动的参数方程消去时间参数t得质点的运动轨迹为运动轨迹如图1.2 （2）根据题意可得到质点的位置矢量为 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!所以到这段时间内质点的平均速度为 （3）由位置矢量求导可得质点的速度为 所以 末和 末的质点速度分别为 和（4）由速度求导可得质
9、点的加速度为 所以 末和 末质点的加速度为 1-5湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过离河面高H的滑轮拉船靠岸，如图1.3所示。设绳子的原长为，人以匀速拉绳，使描述小船的运动。解建立坐标系如图1.3所示。按题意，初始时刻（t=0）,滑轮至小船的绳长为，在此后某时刻t,绳长减小到，此刻船的位置为这就是小船的运动方程，将其对时间求导可得小船的速度为 将其对时间求导可得小船的加速度为 其中负号说明了小船沿轴的负向（即向岸靠拢的方向）做变加速直线运动，离岸越近（越小），加速度的绝对值越大。 1-6大马哈鱼总是逆流而上，游到乌苏里江上游去产卵，游程中有时要跃上瀑布。这种鱼跃出水面的速度可达32。它最高可跃上
10、多高的瀑布？和人的跳高记录相比如何？解 鱼跃出水面的速度为,若竖直跃出水面，则跃出的高度 此高度和人的跳高记录相比较，差不多是人跳高的两倍。1-7 一人站在山坡上，山坡鱼水平面成角，他扔出一个初速度为的小石子，与水平面成角，如图1.4所示。（1）若忽略空气阻力，试证小石子落到了山坡上距离抛出点为S处，有如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!。（2）由此证明对于给定的和值时，S在时有最大值。解 （1）建立如图1.4所示的坐标系，则小石子的运动方程为 当小石子落在山坡上时，有 联立以上四个方程，求解可得小石子在空中飞行的时间（即从抛出到落在山坡上是所经历的时间）t所满足的方程为 解之得 但时不
11、可能的，因时小石子刚刚抛出，所以小石子落在山坡的距离为 （2）给定和值时，有，求S的最大值，可令，即 亦即 此时，所以S有最大值，且最大值为 1-8一人扔石子的最大出手速度为。他能击中一个与他的手水平距离为，高为处的目标吗?在这个距离上他能击中的最大高度是多少？ 解 设抛射角为，则已知条件如图1.5所示，于是石子的运动方程为如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 可得到石子的轨迹方程为 假若石子在给定距离上能击中目标，可令此时有 即 以为函数，令，有，此时，即在给定已知条件及给定距离上能够击中目标的最大高度为，故在给定距离上能击中高度的目标。1-9 如果把两个物体A和B分别以速度和抛出去，
12、与水平面的夹角为，与水平面的夹角为，试证明在任意时刻物体B相对于物体A的速度为常矢量。解 两物体在忽略风力的影响之后，将在一竖直面内做上抛运动，如图1.6所示，则两个物体的速度分别为 所以在任意时刻物体B相对于物体A的速度为 它是与时间无关的常矢量。1-10 如果已测得上抛物体两次从两个方向经过两个给定点的时间，即可测出该处的重力加速度。若物体沿两个方向经过水平线A的时间间隔为，而沿两个方向经过水平线A上方h处的另一水平线B的时间间隔为，设在物体运动的范围内重力加速度为常量，试求该重力加速度的大小。解 设抛出物体的初速度为，抛射角为，建立如图1.7所示的坐标系，则 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!所以 于是有 此二式平方相减可得 注意此方法也是实验测得重力加速度的一种方法。1-11 以初速度将一物体斜上抛，抛射角为，不计空气阻力，则物体在轨道最高点处的曲率半径为（ ）A. B. C. D.不能确定解 本题正确答案为 C因为初速为将一物体斜向上抛，抛射角为，不计空气阻力时，物体在轨道的最
