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1、第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是01802. 直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.当时，； 当时，； 当时，不存在。xyoa1a2l1l2例.如右图，直线l1的倾斜角a=30，直线l1l2，求直线l1和l2的斜率.解：k1=ta
2、n30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直线的倾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30过两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.设直线 l1经过点A(m，1)、B(3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1l1时分别求出m的值三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率
3、都有斜率且都相等，那么这三点共线。3. 直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：其中直线与轴交于点(a，0)，与y轴交于点(0，b),即l与x轴、y轴的截距分别为a、b。注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 两个截距都不为0 或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：或y=
4、kx. 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全为0）注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，经过点A(8，2)； .(2)经过点B(4,2)，平行于x轴； .(3)在轴和轴上的截距分别是； .(4)经过两点P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直线的方程为Ax+By+C=0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）AC=0，B0BC=0，B0，A0 CC=0，AB04.
5、两直线平行与垂直 当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组的一组解。若方程组无解 ； 若方程组有无数解与重合6. 点的坐标与直线方程的关系几何元素代数表示点P坐标P(xo，yo) 直线l方程Ax+By+C=0点P(xo，yo)在直线l上坐标满足方程：Ax+By+C=0点P(xo，yo)是l1、l2的交点坐标(xo，yo)满足方程组7. 两条直线的位置关系的判定公式A1B2A2B10方程组有唯一解两直线相交 或
6、A1C2A2C1 0无解两直线平行 或A1C2A2C1 = 0有无数个解两直线重合两条直线垂直的判定条件：当A1、B1、A2、B2满足 时l1l2。答：A1A2+B1B2=0经典例题；例1.已知两直线l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m为何值时l1与l2相交平行解：例2. 已知两直线l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值解：例3.求两条垂直直线l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交点坐标解：例4. 已知直线l的方程为，(1)求过点（2，3）且垂直于l的直线方程；(2)求过点（2，3）
7、且平行于l的直线方程。8. 两点间距离公式：设A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|=9. 点到直线距离公式：一点P(xo，yo)到直线l：Ax+By+C=0的距离10. 两平行直线距离公式例：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为例1：求平行线l1：3x+ 4y 12=0与l2： ax+8y+11=0之间的距离。例2：已知平行线l1：3x+2y 6=0与l2： 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。12. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，
8、则线段的中点M坐标为(，)例. 已知点A(7，4)、B(5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。13. 对称点与对称直线的求法例1：已知直线l：2x3y+1=0和点P(1，2). (1) 分别求：点P(1，2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标(2) 分别求：直线l：2x3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.(3) 求直线l关于点P(1，2)对称的直线方程。(4) 求P(1，2)关于直线l轴对称的直线方程。例2：点P(1，2)关于直线l： x+y2=0的对称点的坐标为 。例3：已知圆C1：(x+1)2+(y1)2=1与圆C2关于直线xy1=0对称，则圆C2的方程为： 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1
