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1、数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性(一)数列的单调性与函数的单调性的区别2【例题1】已知an n n n N*是单调递增数列，则的取值范围是 【例题2】给定函数y=f (x)的图像在下列图中，并且对任意ai 0,1 ,由关系an+i=f (an)得到an+ian(n N*),则该函数的图像是 (二)an=f (n)的单调性【例题3已知an的通项an=( n2-1) cn+c n-1(n N*),其中实数cw0,若对一切k N*有a2ka 2k-i,求c的取值范围.【例题4已知ai = a, an+1= Sn + 3n,若an+1 an (n N * ),求a的取值范围N*).1【变式
2、训练】设数列an满足a1=2 , an 1 an 一(n an(I)证明：an J2n 1对一切正整数n成立;(II)令bn干(n N*),试判断bn和bn+ 1的大小,并说明理由N * , 有 ap+q =a p+a q.【例题5】已知数列an中，a1=2 ,对于任意的p, q(I)求数列an的通项公式；(II )若数列bn满足an 2b 22bL彳L 1 n 1 2b7，求数列bn的通项公式;(III)若Cn 3nbn ,是否存在实数，使得当n N*时，Cn+1Cn恒成立？333_ 2【变式训练】设数列an的各项都是正数，且对任意的n N*,都有aia2L anSn ,其中，Sn为数列an
3、的前n项和.，、一 2(I)求证：an 1 2Sn ani；(II)求数列an的通项公式;n 1(III )设bn 3n12an为非零整数，n N* ,试确定 的值，使得对任意的n N * ,都有b n+ i b n成立.(三)an+1=f (an)的单调性【知识点】对于迭代数列 an+1= f (an),如果有y=f (x)是非递减函数，那么：若aia2,则数列an递减. 特别地，对于迭代数列 an+i = f (an),若f (x)是二次函数，则数列单调递增的充要条件是 aia22, n N * ,在a2, an上，函数f (x)为单调递增函数.1 一2一*【例题6 已知数列 an满足科二
4、且an 1= an - an ( n N )2a*(1)证明：1n- 2 (n N )；an 12一1Sc1*(2)设数列a2的前n项和为Sn,证明-(n N ).n 2(n 2) n 2(n 1)【变式训练】在数列 an中，a1 3, an冏an 1若 0,2,求数列an的通项公式;41.(2)右 一k0 k0N ,k0 2 ,1,证明:3k0 1ak)12k0 1【变式训练】数列Xn满足：X1=0 , Xn+1= -Xn2+Xn+C (n N*)(I)证明：数列Xn单调递减的充分必要条件是 C0 ；(II)求C的取值范围，使数列Xn是单调递增数列.二、数列的单调性应用(一)数列的最值问题【
5、例题7】数列an和数列bn满足：ai = a0；当k2时，若ak -i+bk -10,贝Uak=ak -i,bka1-b；若 ak-i + bk -ibk成立，求n的最 大值(用a, b表示).【变式训练】在数列an中，ai=3 , an= JO2 , bn=a n+2 , n=2 , 3, 4,(I)求a2, a3,判断数列an的单调性并证明；1C(II)求证 |an-2|2,有b2b3bnWM ?若存在，求出 M的值；若不存在,说明理由.(二)数列中的恒成立问题An (n N * )与x轴的交点分别为例题8如图，在平面直角坐标系 xOy中，设ai=2 ,有一组圆心在 x轴的正半轴上的圆Ao
6、(1 , 0)和An+1(an+1 , 0),过圆心An作x轴的垂线ln在第一象限与圆 An交于点Bn(an, bn).(1 )求数列an的通项公式;(2)设曲边形An+lBnBn+1(阴影部分所示)的面积为Sn ,若对于任意n11.1 L m恒成乂，试求头数 m 的取值氾围S1 S2Sn【变式训练】已知数列an与bn满足an 1an2bn1bn, n .(1)若bn 3n 5 ,且a1 1,求数列an的通项公式；(2)设an的第no项是最大项，即an0 an (n ),求证：数列 bn的第n0项是最大项；(3)设40, bnn ( n )，求 的取值范围，使得 an有最大值与最小值 m ,且
7、一 2,2 . m【课时作业】1、设数列an的前n项和Sn 2an a ,且a1，a2 1启3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)记数列工的前n项和Tn,求得|Tn 1| 成立的n的最小值. an10002、设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 ai=a (aw3), an+i=Sn+3n, n N*(I)设bn=Sn -3n,求证：数列bn是等比数列，并写出bn的通项公式；(II)若数列an是单调递增数列，求 a的取值范围.3、设数列an的前n项和为Sn, Sn 2ann 4 n N*,R ,且数列|an -1|为等比数列.(I)求实数 的值，并写出数列an的通项公式;,11(I
8、I) (i)判断数列 (n N*)的单调性;an 1 ann 112(ii)设bn ,数列bn的刖n项和为Tn,求证：T2n -.an92an4、已知数列an, bn中，a1=1 , bn= 1 - an 11，n an 1N * ,数列bn的前n项和为Sn.(I)若 an=2 n -1 ,求 Sn；(II)是否存在等比数列an,使得bn+2=Sn对于任意的n N*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；若不存在，请说明理由.(III )若an是单调递增数列，求证：Snk,都 3n3 1有Tn 成立.4 4n6、数列an, an0 , a1=0 , an+12+ an+1-1= an2 (nN * ),求证：当 n N* 时，ana n+1.7、【变式训练】设 ai=i , an 1 Ja； 2an 2 1(n N*),问：是否存在实数 c,使得a2nc2, an为奇数;(II)若对于任意的n N * ,都有an+1 an,求ai的取值范围.
