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1、第5讲椭圆的性质及应用一、知识梳理1、椭圆的标准方程和几何性质图形羯)1L Q海K r|标准方程22a+ 3= 1(a b 0)I22/十皆=1(ab0)性质焦点F1(-c,0), F2(c,0)F1(0, - c), F2(0, c)范围a x a b y bb x b a yb0)的左焦点，直线y=Ml：x交椭圆于A、B两点，若|AF|, |BF|恰好是RtAABF的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为()AB 岑。婴 D 1【解答】 解： AF|, |BF|恰好是 RtABF 的“勾” “股，二. AF社 BF1,OA = OB= OF1 = c.a(士 正一 222 q 2/A22 ,2T
2、3fe2= 1h2，? -=2VS_3,a1、美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”角，则该椭圆的离心率为（）是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60角，可得,即 a=2b,所以 e=-= 故选：C.2、己知椭圆C:至彳十：工二1 （ab 0）的右焦点为F ,直，则椭圆C的离心率为（）A 7 B考C考【解答】解：如图，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面
3、成60/2过点F作圆x2+y2=b2的切线，若两条切线互相垂由题意可得,V2b=c,贝U 2b2=c2,即 2 (a2c2) = c2,贝U 2a2=3c2,题后感悟(1)求离心率e时，除用关系式a2=b2 + c2外，还要注意6=的代换，通过方程思想求离心率.(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识.例22221、设Fi(-c, 0), F2(c, 0)分别是椭圆a2 + b2=l(ab0)的左、右焦点，若在直线 x=a上存在点P,使线段PFi的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 ()A. 0 嗯B(0,耍。 1 jD.当
4、1J解法一：由题意知 F1(-c,0),F2(c,0),P1, yg PF1的中垂线过点 F2,，|F1F2|= |F2P|,即 2c=信一 c j+y2, 整理得y2 = 3c2 + 2a2 当c,. y20,3c2+2a2-az0,即 3e2+20,解得 e乎.，e 的取值范围是ce322解法二：设直线x= a-与x轴交于M点，则|F1F2|= |F2P|刁MF2|,即2cA -c, cc厚1)1 c 整理得1 e21,3当 we(),F1, F2为椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点 a 夕得/ F1PF2为直角，求椭圆的离心率的取值范围 33、椭圆C的两个焦点分别是 F1, F2若C上的点P
5、满足PF1 =-|F1F2 ,则椭圆C的离心率e的取值范围是A . 111 .1.11.A.eW B. e C. WeWD.0eW 或一4 e 0时 直线和椭圆相交当A=0时 直线和椭圆相切当A0,n0 ,且m=n）的交点为A （Xi，y），B （X2/2），弦AB的中点为 M（X0,y0）,则：1)XiX2X。22222X1 - X2 y1 - n2-2 + =0 ,即:m ny2 - y1 =, X1 *X2 ,所以：设直线 y=kX+b的斜率k=，迎X2 - X1m y4且2 9,则t的取值范围为4, 9） U （9, +8）；故选：D.2、过点M1, 1）作斜率为一1的直线与椭圆C：
6、X2+g=1（ab0）相交于A B两点，若M是线段AB的中点,2a b则椭圆C的离心率等于答:2X12.2斛析设点A（X1, y。，点B（X2, y2）,点 M是线段 AB的中点，所以 X1 + X2=2, y1 + y2= 2,且222a bV y2=X1 X21,两式作差可得22/ 22、X1 X2 ( y1 y2)b2(X1 + X2)(X1 X2) ( y1 + y2)( y1 y2)b2=1,b2 一b2 1一 , b21 一o o o02,即kAB=1由题息可知，直线 AB的斜率为一所以一=2，即a = 42b.又a = b+c ,所以c=b, e=乎.F的直线交E于A, B两点，
7、若AB的中3、已知椭圆Et三”尸1 Qb0)右焦点为F (3, 0)过点 Y点坐标为(1 , L ,则E的离心率是(2解：设 A （x1, y1） , BD.（X2, y2）.可得:=0.相减可得:又 Xl + X2 = 2 ,4b2b24、已知点A, B是 曲线x2+4y2= 1上两点，且 OAOB (O为坐标原点)|0A|2+ |0B|2综上,=5,1 . 1-+L|0A|2 |0B |2A. B . 1C.与D. 54【解答】 解：（1）若 OA 斜率为 0,则 |OA|= 1, |OB|=L J+_- = 5,2 lOAR |0B|2(2)若OA有斜率且不为0,设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y= -yX, 联立方程组产产 9 ,解得 x2=故 y2= |OA|2 = x2+y2= 1 + k；、:(2 十 4/二 1B4k1+4/1+4 k21+1=+加lOA* IobI2 Ifk2 1+k2变式训练:221、已知椭圆x-十上=1过点P(2,1)作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为()164A . 2x -y -3 =0 B . 2xy1=0 C , x+2y1=0 D , x+
