第24讲 数列的综合应用

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1、第五章数列第二十四讲数列的综合应用【复习目标】能综合应用数列知识解决数列综合题,并能应用其解决实际问题。【高考真题再现】1.(2008山东高考)将数列a中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a4a7a3a5a8记表中的第一列数a 1 a,a和,且满足一2bn一 = 1(n 2)。牛n 2(1)证明数列!土成等差数列,并求数列的通项公式;七n(2)上表中,若从第三项起,每一项中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比 为同一个正数,当a81=-东时,求上表中第k3 3)行所有项的和。a 构成的数列为b ,b =a = 1, S为数列的前n项7n11nn2.(2009山东高

2、考)等比数列a的前项和为S,已知对任意的n e N、点(n, %)均在函数y =摭+ r (b且b#1, b,r均为常数)的图像上。求r的值。(2)当b=2时,记b = 2(log 2 an+ 1)( n e N +),证明:对任意的n e N +,不等式 b + 1 b + 1b + 1、 出十1 1111 tn w n + 1 成立。12n【典型例题】一、等差等比数列的综合问题例1、(2008江西高考)等差数列。各项均为正整数, = 3,前n项和为S,等比数列b中, 七=1 ,且b 2七=64 , bn是公比为64的等比数列。(1) 求n与b ;(2) 证明: 一 + +nnr+ 一。S

3、S S 4跟踪练习:等差数列n 的公差d不为零,n成等比数列,求% + 4 + 8的值。二、用数列知识解决实际问题例2、某国采用养老储备金制度,公民在就业第一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年缴纳的 数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所缴纳的储备金数目a , a E是一个公差为d的等差数列,与 此同时,归家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利。这就是说,如果固定年利率 为r(r0),那么,在第n年末,第一年所缴纳的储备金就变为a1(r + 1)“t,第二年所缴纳的储备金就变 为a (1 + r)n-2,工,以T表示到第n年末所累计的储备金总额。(1) 写出T与T 1(n

4、2)的递推关系式;(2) 求证:T =A + B,其中A 是一个等比数列,B 是一个等差数列。跟踪练习:职工小张年初向银行贷款2万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利(即本年的利息计入次 年的本金)计算,若这笔贷款分10年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后次年年初开始归还, 问每年应还多少元?(精确到1元)2.从盛满a L (a1)纯酒精容器里倒出1 L,然后用水填满,再倒出1 L混合溶液后,再用水填满, 如此继续下去,问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.三、综合问题例 3、数列。中,a = 8, a = 2,且满足 a - 2 a + a = 0,设 b =,(n e N +),n

5、14n +2n + 1nn n (1 2 - a )T = b + b + ODH+ b (n e N + ),是否存在最大的整数m,使得任意的n e N +总有T 竺成立?若存n 12nn 32在,求出m的值;若不存在,说明理由。跟踪练习:1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0 (a尹b)的四个根可组成首项为1的等差数列,4则a+b的值是a 3A.-8)B虬2413C.24D四722.若数列x,a1a2,成等差数列x,b1,b2,J成等比数列,则9 a ) ”12-的取值范围是-b23.数列a的通项aA. 470B 490四反思总结=n2 (cosn兀-sin 2),其刖n项和

6、为SC 495,则则七。为(510第二十四讲 数列的综合应用当堂检测命题人:陈强审核人:董茂庆使用时间:2010.11.191. (5分)已知an为等比数列,s是它的前n项和, 中项为5,则5等于()A. 35B. 33C. 31若a . a = 2a,且a与2a的等差23147D. 292、(5分)在等差数列an中,其前n项和为s,大的是()若S15 0, S16 0 且 a 尹 1),设 f (a ), f (a ), f (a项为4,公差为2的等差数列(1)设a为常数,求证:an为等比数列;(2)若b = a f (a ), b 的前n项和是S,当a = 0( i = 1,2,),若 a12.a6 b6在数列a中A. 1300或 a 6 = b6a = 1, aB,2600=2,且 a+ 2 =C,-anD, 26023.在各项均为正数的等比数列an 中1,21 - 5 3时,c cn n nn +1 n

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