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1、环同态及同态基本定理定义2设9 : R t R是一个环同态，那么R中零元的完全原象1 2 29-1(0)二a e R 19(a)二 0叫作p 的模,通常记9-1(0)二 Kerp .1定理1.设RTT R是一个环同态满射，令I = Kerp那么(i) IV R (n) RI 仝 R证明：(i )对加法而言，9显然是一个加群满同态,由第二章知I V R .(即I是R的不变子 群).下面只需证明吸收律也成立即可.Vk e I, Vr e R.那 么p(rk) =9 (r)p (k) =9 (r)0 = 0 n rk e I. 同 理kr e I.IV R(n)由第二章知，存在：Rj二R 作为群同构
2、，其中Va e牛厂(a) =9 (a),下面只需证明：Va,b e Rj，(ab)=()(b)但(ab)=ab = 9 (ab) = 9 (a )9 (b)=ab.:R i t R是环同构.即RI = R.定理2.设R是一个环而IV R，那么必有环同态9 : R t R j .使得9是满同态且模Ker9 = I . 称这样的9 为环的自然同态.证明:令9 : R T RI，其中9 (a) = a，显然9是个满射而且Va, b e R .9 (a + b) = a + b = a + b = 9 (a) + 9 (b)9(ab) =ab =ab =9(a)9(b).RR j.至于Ker9 = I
3、是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R的任何商环都是R 的同态象.而环R的任何同态象实质上只能是R的一个商环.与群同态类似，我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3设9 : R T R是环同态映射，那么(i)若S是R的子环=9 (S)是R的子环(n)若I是R的理想且9为满射(I)是R的理想(iii) 若S是R的子环=9-1(S)是R的子环(iv) 若S是R的理想9-1(S)是R的理想证明：(i ) Va, b e9 (S)3a, b e S 使 a =9 (a), b = 9 (b).所以 a 一 b e S ,于是a b = 9 (a) 9 (b) =
4、9 (a b) e 9 (S)9 (S) W R.(子群)另夕卜 ab = 9(a)9(b) = 9(ab) e 9(S)(v ab e S)9 (S)是R的子环.(n) v I nv I ? R n iae I,aie In9 (I)? Ria = 9 (i)9 (a) = 9 (ia) e 9 (I)ai = 9(a)9(i) =9(ai) e9(I)(iii) Va,b e9 -1(s)9(a),9(b) e S ,而知9(a)-9(b),9(a)9(b) e S9(a一b) =9(a) -9(b) e S n a一b e9-1(s) I -f n9 (ab) = 9 (a)9 (b) e S n ab e 9-1(s)J9 -1(s)是R的一个子环.(iv) Va e 9-i(s). n 9(a) e S, Vr e R. 9(r) e Rv SR,9(a)9(r) e S,9(r)9(a) e S .9(ar) = 9(a)9(r) e S n ar e9-i(s)I于是fn9-i( s)9(ra)=9(r)9(a)eSnrae9-1(s)J满足吸收律.又由(iii) n 9-i(s)是R的子环.于是9-i (s)R .注意2.从定理3的证明中可知:除了（ii）需要P是满环同态外，其余情况都不需要9是满射这个条件.
