《高中数学人教A版选修11同步教师用书第一章1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修11同步教师用书第一章1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点)2.理解四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点)3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)基础初探教材整理1 四种命题阅读教材P4P6，完成下列问题.1.四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，
2、另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.2.四种命题的形式原命题：若p，则q.逆命题：若q，则p.否命题：若p，则q.逆否命题：若q，则p.判断(准确的打“”，错误的打“”)(1)有的命题没有逆命题.( )(2)四种命题中，原命题是固定的.( )(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.( )【解析】 (1)只要原命题确定了，它的逆命题就确定了，故(1)错.(2)四种命题中原命题具有相对性，故(2)错.(3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，故(3)错.【答案】 (1) (2) (3)教材整理2 四种命题间的相互关系阅读教材P6P8，完成下列问题
3、.1.四种命题之间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没相关系.判断(准确的打“”，错误的打“”)(1)对于一个命题的四种命题，能够一个真命题都没有.( )(2)两个互逆命题的真假性相同.( )(3)命题“若a3，则a6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个.( )【解析】 (1)若原命题为假命题，则其逆否命题为假命题，逆命题和否命题可都为假命题，故(1)对.(2)
4、两个互逆命题的真假性无关，故(2)错.(3)原命题和逆否命题准确，否命题和逆命题错误，故(3)错.【答案】 (1) (2) (3)小组合作型四种命题的概念 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x10，那么x0；(3)当x2时，x2x60. 【导学号：97792002】【精彩点拨】 根据四种命题的结构写出所求命题.【自主解答】 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内
5、的两条相交直线.(2)逆命题：如果x0，那么x10；否命题：如果x10，那么x0；逆否命题：如果x0，那么x10.(3)逆命题：如果x2x60，那么x2；否命题：如果x2，那么x2x60；逆否命题：如果x2x60，那么x2.1.写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变.2.常见词语的否定词语是都是至少有n个至多有n个否定不是不都是至多有n1个至少有n1个再练一题1.(1)命题“
6、若mn，则m1n2”的逆否命题为_.(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：正数的平方根不等于0；若x2y20(x，yR)，则x，y全为0.【解析】 (1)若m1n2，则mn.(2)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数.逆命题：若x，y全为0，则x2y20(x，yR)；否命题：若x2y20(x，yR)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2y20(x，yR).四种命题真假的判断 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判
7、断它们的真假：(1)正偶数不是素数；(2)平行于同一条直线的两条直线平行.【精彩点拨】【自主解答】(1)原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题；逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题；逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题.(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题.逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题.否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题.逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题.在判断
8、一个命题的真假时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假.再练一题2.下列命题：“若xy1，则x、y互为倒数”的逆命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题.其中是真命题的是_.【解析】“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题.所以真命题是.【
9、答案】探究共研型等价命题的应用探究1我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？【提示】可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题.探究2根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假，是哪种证明方法的理论基础？【提示】是反证法的理论基础.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，则a1”的逆否命题的真假. 【导学号：97792003】【精彩点拨】法一： 法二：【自主解答】法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集.真假判断如下：抛物线yx2(2
10、a1)xa22开口向上，判别式(2a1)24(a22)4a7，若a1，则4a70.即抛物线yx2(2a1)xa22与x轴无交点.所以关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为空集.故原命题的逆否命题为真.法二先判断原命题的真假.因为a，x为实数，且关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集不是空集，所以(2a1)24(a22)0，即4a70，解得a.因为a，所以a1，所以原命题为真.又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.这种问题的解决通常有两种方法：一是直接法，先写出逆否命题，后判断，如法一；二是间接法，不写逆否命题，从判断原命题的真假证明逆否命题的真假，如法二.再练一题3.证
11、明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.【解】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b).”当ab0时，ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a).f(a)f(b)f(a)f(b)，即逆否命题为真命题.原命题为真命题.1.命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B.“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C.“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D.“若一个数的相反数不是正数，
12、则它不是负数”【解析】若原命题记作“若p，则q”，则A为“若p，则q”；B为“若q，则p”；C为“若p，则q”；D为“若q，则p”.故B正确.【答案】B2.命题“如果x21，则1x1”的逆否命题是()A.如果x21，则x1，或x1B.如果1x1，则x21C.如果x1或x1，则x21D.如果x1或x1，则x21【解析】“1x1”的含义是“x1且x1”，故“1x1”的否定是“x1或x1”，故选D.【答案】D3.已知命题：“若x0，y0，则xy0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆
13、命题为“若xy0，则x0，y0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.【答案】B4.有下列四个命题：命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；命题“面积相等的三角形全等”的否命题；命题“若m1，则x22xm0有实根”的逆否命题；命题“若ABB，则AB”的逆否命题.其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号).【解析】中由ABB，应该得出BA，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题.【答案】5.判断命题：“若b1，则关于x的方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题的真假.【解】(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为4b24(b2b)4b，因为b1，所以40，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.
