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1、江苏省无锡第一中学20192020学年高二下学期期中考试数学试题20205一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1已知i为虚数单位，复数，则复数z的模为 A B1 C2 D2一辆汽车做直线运动，位移s与时间t的关系为，若汽车在t2时的瞬时速度为12，则a A B C2 D33已知复数z满足：，则的最大值为 A2 B C D343只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A B C D5函数在点(0，)处的切线方程为 A B C D6若函数在和处取得极值，则常数ab的值为 A21 B21 C27 D27
2、7100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为 A B C D8设随机变量Y满足YB(4，)，则函数无零点的概率是 A B C D9从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A140种 B84种 C35种 D70种10设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是 A B C D 第10题11设，则 A32 B0 C16 D1612对于定义在(1，)上的可导函数，当x(1，)时，恒成立，已知，则a，b，c的大小关系为 Aabc Bbca Ccba Dcab二、填空题（本大题共4小
3、题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13的展开式中常数项是 14若随机变量XN(，)，且P(X6)P(X2)0.3，则P(2X6) 15有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有 种不同的借法16函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知复数，其中i为虚数单位（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值；（2）复数z在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围18（本小题满分12分）已知函数(aR)（1）当a2时，求函数的极值；
4、（2）讨论函数的单调性；（3）若对(0，)，恒成立，求a的取值范围19（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望20（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：每周网上买菜次数1次2次3次4次5次6次及以上总计男1087321545女5464
5、63055总计1512137845100（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率附公式及表如下：P(k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.0763.8415.0246.6357.87910.82821（本小题满分12分）已知数列的首项为1，记（1）若数列是公比为3的等比数
6、列，求的值；（2）若数列是公差为2的等差数列，求证：是关于x的一次多项式22（本小题满分14分）已知函数，其中a0（1）当a1时，求不等式在(0，)上的解；（2）设，关于直线xlna对称的函数为，求证：当xlna时，；（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：参考答案1A 2D 3B 4B 5B 6A 7A 8A9D 10D 11C 12D13 140.2 15150 16(，1)017解：（1）复数z是纯虚数， ，解得，故m3，（2）复数z在复平面内对应的点在第一象限，解得，故m3或m0，实数m的取值范围为(，0)(3，)18解：（1）。令得。所以在上单调递增，上单调递减，无极小值。 （2），
7、 当a0时，在(0，)单调递增， 当a0时，若x(0，)，在(0，)单调递增；若x(，)，在(，)单调递减； 综上，当a0时，在(0，)单调递增；当a0时，在(0，)单调递增，在(，)单调递减。（3）对，恒成立，对，恒成立，令，。时，；时，所以，所以。19解：（1）， 答：选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）， ， ， ， 列表如下：X0123P E(X)20 21解：（1）由题意an=3n-1， ； （2）证明：若数列an是公差为2的等差数列，则an2n1.a1C(1x)na2Cx(1x)n1anCxn1(1x)an1CxnC(1x)n(12)Cx(1x)n1(14)Cx2(1
8、x)n2(12n)CxnC(1x)nC1nx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn2Cx(1x)n12Cx2(1x)n2Cxn由二项式定理知，C(1x)nCx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn(1x)xn1.因为kCknnC，所以Cx(1x)n12Cx2(1x)n2nCxnnCx(1x)n1nCx2(1x)n2nCxnnxC(1x)n1Cx(1x)n2Cxn1nx(1x)xn1nx，所以12nx. 22解：（1）当a1时， ， 在(0，)上单调递增， ， 在(0，)上单调递增，又， 的解集为(2，)； （2）， 关于直线xlna对称的函数为， 令， ，当且仅当时取“”，xlna，故上式取不到“”，即，在(，)上单调递增，故，即，当xlna时， （3）证明：由已知由,是函数的两个不同极值点(不妨设(若时,即是R上的增函数,与已知矛盾)且,两式相减得:于是要证明,即证明,两边同除以,即证,即证,即证令即证不等式当时恒成立.设,而,即,在上是减函数在处取得极小值则.9
