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1、一元二次方程基础知识 1、 一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。 如：满足一般形式，分别是二次项、一次项和常数项，2，4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如的方程都可以用开平方的方法写成，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。 （2）配方法通过配方将原方程转化为的方程，再用直接开平方法求
2、解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法求根公式：方程的求根公式 步骤：1）把方程整理为一般形式：，确定a、b、c。2）计算式子的值。3）当时，把a、b和的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法 把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配
3、方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：整理为word格式也就是说，一元二次方程只有当系数、满足条件时才有实数根这里叫做一元二次方程根的判别式4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根若，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根说明：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；
4、没有实数根时，在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数； 利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题6、韦达定理如果的两根是，则，（隐含的条件：
5、） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，7、韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是整理为word格式一般地，如果有两个数，满足，那么，必定是的两个根8、韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件其他有用结论：若有理系数一元二
6、次方程有一根，则必有一根（，为有理数）若，则方程必有实数根若，方程不一定有实数根若，则必有一根若，则必有一根9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它
7、是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：整理为word格式 为完全平方数； 或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、均为有理数)11、一元二次方程的应用1求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3. 列方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答板块一 一元二次方程的定义夯实基础例1 把下列方程先
8、化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）（2）（3）（4）（5）例2 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围 整理为word格式例3 若一元二次方程的常数项为零，则的值为_能力提升例4 关于x的方程是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程是关于的一元二次方程，求、的值例6若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）Am1 Bm0 Cm0且m1 Dm为任何实数培优训练例7 为何值时，关于的方程是一元二次方程例8已知方程是关于的一元二次方程，求、的值例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程
9、，则m的值为解：该方程为一元二次方程，m2-7=2，解得m=3；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3整理为word格式例10（2000兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）Am-1Bm2Cm-1或m2Dm-1且m2课后练习1、为何值时，关于的方程是一元二次方程2、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围3、已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围4、若是关于的一元二次方程，求、的值5、若一元二次方程的常数项为零，则的值为_板块二 一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（2012鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一
10、个解，则6a2-3a的值为（） A3 B-3 C9 D-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=33=9故选C整理为word格式例2（2011哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解则m的值是（） A6 B5 C2 D-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6故选A例3用直接开平方法解下列方程（1）（2） （3）(4) (5) (6)例4先配方，再开平方解下列方程（1） （2） （3） (4) (5) (6) 例5 用公式法解下列方程整理为word格式（1） （2） （3）(4) (5)
11、(6)例6 用因式分解法解下列方程 （1） （2） （3） (4) (5) (6)能力提升例7（2011乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（A） A-1 B0 C1 D-1或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a值为（C） A1 B0 C-1 D1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（ac）有相同的根，则= _整理为word格式例10已知a、是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8+6的值为（D） A-1 B2 C22 D30例11关于x的一元二次方程（m-2）xm-2+2mx-
12、1=0的根是 _ _例12解方程：整理为word格式例13解方程培优训练例14（新思维）阅读下面的例题：解方程：解：（1）当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），（2）当时，原方程化为解得（不合题意，舍去），原方程的根是请参照，则方程的根是_例15解方程：例16（新思维）设x1、x2是方程的两个实数根，求代数式的值整理为word格式例17（新思维）先请阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，当时，得；当时，得；故原方程的解为，在解方程的过程中，我们将用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想请你根据以上的阅读，解下列方程：（1）；（2）例18已知关于
