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1、第二十二章 一元二次方程221一元二次方程22.1 一元二次方程一、教学目标1. 了解一元二次方程的概念和一般形式.2. 会把任意的一元二次方程化成一般形式，并能熟练地指出二次项系数、一次项系数及常数项.3.了解一元二次方程根的概念，并会检验出哪些数是一元二次方程的根.二、重点、难点1 重点：会把任意的一元二次方程化成一般形式.2 难点：把一元二次方程化成一般形式，并能熟练地指出二次项系数、一次项系数及常数项.3.难点与突破方法根据实际问题列出方程，把一元二次方程化成一般形式是难点.突破的方法是让学生自己分析引言中的问题和本节的问题1、问题2，也就是说，只要一有机会，就让学生独立地分析、解决问
2、题，逐步地培养他们解决问题的能力. P32练习2也是这个目的，为突破这个难点服务.三、例、习题的意图1.本章从实际问题引出一元二次方程，这个引例是要设计一个人体雕塑，给出的等量关系是：“腰以上与腰以下的高度比，等于下部与全部的高度比”，问题是：“雕像的下部应设计为多高”.通过设未知数、列比例关系、化简整理得到方程，这道题不仅引出了一元二次方程，而且为学生学习P46的“阅读与思考” 黄金分割数做好准备. “黄金分割数”不光是在几何中应用，也在绘画、雕塑、音乐中应用以增加美感, 而且还在选优法中应用“黄金分割数”来选择最佳试验温度.本节还有问题1和问题2，通过分析和解决这两个问题，有机会再一次突破
3、应用题这个难点，教师应该重视这两个问题的教学，不但是为了从实际问题引出一元二次方程，而且能分散学生学习的难点，收到较好的教学效果.2.找出以上三个问题所列方程的共同点，给出一元二次方程的描述性的定义：像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 3.本节提出一元二次方程的一般形式：，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项.要求学生会把一元二次方程化成一般形式，并且正确地指出二次项系数、一次项系数及常数项，为后续的学习做准备，所以要做到每一个学生都能准确地做出答案. 一元二次方程ax2+bx+c=0中， a、
4、b、c为常数，值得特别注意的是a0这个条件 ，因为 a是二次项系数，它若为0，方程ax2+bx+c=0就缺失了二次项，变为bx+c=0，这个方程也就不是一元二次方程了. 而b和c可以为0，不影响ax2+bx+c=0（a、b、c为常数， a0）是一元二次方程，只不过这个一元二次方程可能缺少一次项或常数项.4.P32就前面的有关排球邀请赛的问题的方程进行讨论,列出表格发现，当时，所以是方程的解，引出一元二次方程解（根）的概念，另外要注意由实际问题列出的方程求出其解后，还要使实际问题有意义，所以这个方程只有一个解.教材中P33的思考还给了缺少一次项的一元二次方程，虽然此时还没有学解一元二次方程，但可
5、以用求平方根的方法求出解.P33的练习2是缺少常数项的一元二次方程，先分解因式，再利用一元二次方程解（根）的概念分析这个方程的解.这节课要让学生学会检验一元二次方程的解（根）, P33的练习1就是这个类型的题，为了巩固一元二次方程的解（根）的概念.5. 补充例题2： k为何值时，关于x的方程(k21)x2+(k+1)x2=0是:(1)一元二次方程； (2)一元一次方程.目的是为了使学生加深对一元二次方程的二次项系数不为零的理解，同时使学生了解一元二次方程和一元一次方程之间的关系，当二次项系数为零时，一元二次方程就转变为一元二次方程了.6. P32练习2：根据下列问题，列出方程，并将其化成一元二
6、次方程的一般形式.目的是把应用题这一难点与本节的重点结合起来，使课堂上有更多的时间和精力解决重点和难点.四、新课引入1用投影出示引言中的人体雕塑问题. 让学生思考，学生自己设未知数、列出方程，并且化简方程；2继续用投影出示P30的问题1、问题2，请同学们设未知数，列方程，并且化简方程.3. 以上的方程有什么共同点？ 五、例题讲解P31例. 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.分析 用已经学过的一元一次方程的方法（去括号、合并同类项、按x的降幂排列）解决本题.(补充) 例2. k为何值时，关于x的方程(k21)x2+(k+1)x2=0是:(1)一元二次方程；
7、(2)一元一次方程.解：（1）(k21)x2+(k+1)x2=0是一元二次方程. k210 即k1 (2) (k21)x2+(k+1)x2=0是一元一次方程. k21=0且k+10 k=1且k-1 即k = 1(补充)例3. 不解方程，检验下列方程后面括号内的两数是否是该方程的根（1） （2） 分析把括号内的两数分别代入前面的方程，能使方程左右两边相等的数就是方程的根，不能使方程左右两边相等的数就不是方程的根.答案 （1）是方程的根；（2）不是方程的根，4是方程的根六、随堂练习1. 把下列反方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.方程一般形式二次项系数一次项系
8、数常数项x22x+14=1(3x-2)(x+3)=0(x+2) 2-5=02.填空.：（1）将方程3x2=5x2化成一元二次方程的一般形式为 ；（2）一元二次方程2x2+4x1=0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为 .3.选择题（1）下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（ ） x2 +b-3=0 (x-2)(x+2)= x2 +4x-1 x2 2a2x-a3=0 x2 +-5=0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （2）一元二次方程的根为（ ）A. 0 B. -2 C. 0， 2 D. 0， -2 七、课后练习1.填空 (1)方程3x25=0的一次项系数是 ；(2)若方程kx2+x
9、=3x21是一元二次方程，则k的取值范围是 ； (3) 方程的根是 .2.已知a、b、c 的值依次为下列各组数，分别写出相应的一元二次方程.(1）1，2，-3 (2) -1，3，4 (3) 5，0，-7 (4)2, 0, 03 a为何值时，方程ax2+bx=5x24是关于x的一元二次方程.八、答案：六、1. x22x+13=0, 1, 2, 13 ；3x2+7x6=0，3，7，6；x2+4x1=0，1，4，1 2 （1）3x25x2=0 （2）5 3（1）B （2）C.七、1 （1） 0 （2）k3 (3) 2略 3. a522.2 降次 解一元二次方程2221配方法（一）一、教学目标1. 了
10、解平方根的定义与解一元二次方程的关系. 2. 能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.二、重点、难点1重点：能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.2难点：能熟练地运用平方根的定义解形如 的方程.3. 难点与突破方法本节的内容在旧教材中是用直接开平方法解一元二次方程，本节没有给出“直接开平方法”的说法，而是运用平方根的定义解形如的方程.而且“直接开平方法”是配方法解一元二次方程的基础，所以要使学生掌握这种解法；更重要的是使学生认清，能运用平方根的定义解的一元二次方程的特点，这些方程都能整理成的形式，并且是非负数.三、例、习题的意图1. 本节没有例题. P35的思考中有两个方程，可以由平方根的定
11、义，及求平方根的方法，迁移到解出这两个方程上来，把这两道题可当例题讲解.2.补充例题是为了使学生掌握一些可以通过变形后，可化为这种形式的一元二次方程，用平方根的定义来求解，四、新课引入1用投影出示练习：（1）若，那么的值有几个？是什么？（2） 是方程吗？是什么方程？它的各项系数分别是什么？2继续用投影出示P35的问题1，请同学们设未知数，列方程，并且化简方程得，解得.3. 你能解方程和方程？4你总结一下这几个方程的特点及解题的方法. 这几个方程的左边是完全平方式，右边是一个非负数.凡是满足这两个条件的方程，就可以用求平方根的方法，求出方程的两个解.五、例题讲解(补充)例. 解下列方程：(1)
12、(2) (3) (4) 分析 根据平方根的定义，解形如这样的方程.有些可以化简为这样的方程也用这种方法解.答案：（1） （2） （3） （4），六、随堂练习解下列方程:(1) (2) (3) (4) 七、课后练习解下列方程: (1） (2) (3) (4) 八、答案：六、（1） （2） （3） （4） 七、（1） （2） (3) （4） 2221 配方法（二）一、教学目标1. 了解用配方法解一元二次方程的一般步骤.2. 会用配方法解一元二次方程.二、重点、难点1. 重点：用配方法解一元二次方程.2. 难点：用配方法解一元二次方程.3. 难点与突破方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二
13、次方程上有所应用，而且在今后的学习中也会常常应用.但用这种方法解方程是有条件的，把方程变形为这种形式后，还要求，也就是说必须是非负数，才可以求出方程的解（根）.用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法.要使学生在理解的基础上，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1） 化二次项系数为1；（2） 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；（3） 方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4） 原方程变为的形式；（5） 用直接开平方法求出方程的解.三、例、习题的意图1. P37的思考提出问题：怎样解方程？下面用框图的形式详细地讲述了用配方法解一元二次
14、方程的一般步骤和方法，使学生能够形象地感受用配方法一元二次方程的解法.2. P38的例1用配方法解方程，是为了使学生掌握用配方法解方程这种方法. （1）小题的二次项系数为1，可以直接配方求解. 而 (2)、(3)小题的二次项系数不为1，要先把二次项系数化为1，然后再配方求解.教学时要注意这两种题型的区别，总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤，以指导学生正确解题.3. 用配方法解一元二次方程的基础是：当二次项系数化为1后，能根据一次项系数算出常数项，从而使方程左边的二次项、一次项和常数项的是一个完全平方式.在新课引入时，要做这样的练习（如下面新课引入的1），再进一步找出当二次项系数为1时，常数项与一次项系数之间的关系.4若一元二次方程缺少一次项，形如，当、异号时，可用平方根的定义解方程；若一元二次方程缺少常数项，
