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1、第六讲离散时间跨期套利定价理论6.1介绍本讲主要讨论离散时间多期衍生证券定价问题，衍生证券的价格通常 并不采用均衡定价方法，而是采用套利定价方法。Harris&Kreps(1979)等发现，如果一个价格系统不存在套利时机，那么 该系统存在一个等价鞅测度，利用鞅测度，我们可以非常方便地定价各种衍生产品的价格。下面我们通过两个简单例子，来说明等价鞅的存在及期权定价。例1:考虑一个两期模型，假定第一期标的资产价格为S=35,期权的执行价格为X=35,连续复利无风险利率为9.531%,因此R er(T 1.1,成熟期为一期。假定资产价格或者上升25%,或者下跌25%,即上升后价格为Su=43.75,下
2、降后价格为 Sd=26.25,其资产价格变化如下列图6.1所示。由此一个看涨期权的回报如图6.2所示。下面我们来构筑一个投资组合，利用期权来对该风险资产进行完全的套期保值，从而使得该组合成为一个无风险资产。假定我们出售H份标的在该资产上的看涨期权，使得该组合不存在风险，则其第一期成本为S-Hc,完全套期保值后的回报都是26.25,其回报过程可以用图 6.3来刻画。1、出售的期权份额 H:因为完全套期保值后成熟时的回报相同，因此我们有： Su Hcu Sd Hcd 26.25, 因此我们可以求解出 H:Su SdH ;Cu Cd将相关数值代入，得 H=2o2、无套利时机时的期权价格 ：因为无套利
3、时机存在，无风险组合的回报率应该等于无风险资产上的回报率，因此我们有：R(S Hc) Su Hcu整理得：c S(R u) HRr R duR、cucd / R ,-看跌平价关系u dud此即欧式看涨期权价格，欧式看跌期权的价格可以根据看涨 得到。3、等价鞅测度：事实上我们可以将上式改写为：1 1cCuR(1 )CdR , R d其中 相当于一个概率，称为一个等价鞅测度。 在该测度下，期权u d价格等于未来受益的期望贴现，与个体偏好等因素无关。注：该测度仅是一个假想的测度，并不真正反映上升和下降出现的概率。例6.1.2:考虑一个四期的期权定价例子。假定标的资产的价格S=35,期权的执行价格 X
4、=35,成熟期为一年。连续复利无风险利率为 9.525%,因此 R er(T “1.09993 ； 如果将一年分为四季，则r er(T t) e0.09525 0.25 1.024098。假定资产价格变化如下列图 6.4所示。贝U u=1.10517, d=0.904837 , R=1.024098,0.59512。由此我们可以求解各种欧式期权和美式期权的价格。(1)在第0期开始时发行的、成熟期为4、执行价格为35的欧式看涨期 权价格，则个体只能在第4期执行该期权，其价格可以表示为：44c 44 334c 4(Su4 X) 3(1)(Su3d X)/(1 r)4 4.37(2)计算在第一期当资
5、产价格为 38.68时发行的、第三期成熟的、操作 价格为40的欧式看涨期权价格：c 2 2(38.68 u2 X) (1 r)2以此类推。2 .2无套利时机与等价鞅测度一、 模型的建立考虑一个多期证券市场经济，t=0,1,T假定在该经中存在I位个体, i 1,2,.,I。为简化讨论，假定经济中只有一种易腐烂的消费品，并将这 种消费品作为计价单位，因此消费品的现货价格为1。信息结构:假定经济中有有限个自然状态，它们构成一个状态空间。假定经济中的信息是逐渐展示出来的，到 T期个体才能知道真正的自然状态是中的哪一个。我们可以用一个事件树来刻画信息结构。图6.5描述了五个自然状态、三个交易日的信息结构
6、。在 t=0时，个体 仅知道真实的自然状态在 1,. 5中。t=1时，部分信息被披露出来，或 者事件发生，或者事件 41 5发生；当事件 1, 2, 3发生时，个体知 道真实的自然状态只能是1、2或3；当事件 4, 5发生时，个体知道真实的自然状态只能是4或5。t=2时，信息完全展示出来，个体就知道具体哪个自然状态发生了。定义：一个事件是的一个子集。称两个事件不相交，如果这两个事件的交集是空集，即一个自然状态如果属于一个事件，它就不属于另一个事件。定义：的一个分割是一组事件的集合a,a2,.,a3,如果这些事件彼此不相交，且它们的并等于。称一个给定分割要比另一个分割更精细，如果后一个分割的任一
7、事件都是前一分割中事件的并。(图6.5):信息结构我们可以用Ft;t0,1,.,T来记个体被赋予的公共信息结构，其中每一个Ft都是的一个分割，满足：如果 t s,则Ft比Fs更精细；F0 匕 Ft |。定义：一个随机过程是一个由时间t标识的随机变量序列。定义：称一个随机过程S S(t)| t 0,1,.关于一适应(adapted to-),如果对于任意的t, S(t)关于Ft可测。定义：称一个随机过程 S关于一可料的(predictable to -),如果对于任 意的t, S(t)关于Ft1可测。资产结构：定义：一个时间事件或有权益(time-event contingent claim)是
8、一种证券,在交易日t 1、事件atFt发生时支付一单位消费品，在其它时间和情形下没有支付。定义：一个复杂证券是由时间0消费品和一族时间事件或有权益构成的证券，它可以被表示为x x0,xat | atFt,t1,2,.,T,其中x0和xa分别为以消费品衡量的时间0和时间t、时间at下的红利。定义：一个长生命证券(long-lived security)是一种在任意交易日都可以 交易的复杂证券。假定经济中存在 N+1种长生命证券，j=0,1,N假定第0种资产是面值为1的T期贴现债券，其红利流可以表示为：x0 0,0,.,x(T) 1,(6.2.1)记第0种资产的除息价格过程为B(t)|t 0,1,
9、2,.,T,则有B(T) 0。假定其它N种资产是风险资产，第 j种资产的随机红利流可以表示为：xj xj(t)|t 0,1,2,.,T。(6.2.2)记第j种资产的除息价格过程为Sj(t) |t 0,1,2,.,T,则有Sj(T) 0。记 S(t)(S(t),.,SN(t)T , X(t)(x1(t),.,xN(t)T。显然,xj(t)、B(t)和Sj(t)关于Ft可测，因此红利过程、价格过程都关于一适应。个体行为：假定每一位个体i的偏好都具有von Neuman-Morgenster期望效用表示， 假定个体效用函数uit (ci (t)单调增、严格凹、充分光滑，假定zin0 Uit假定个体i
10、在各自然状态上被赋予的主观概率为：i i |。在该主观概率下，记在给定事件at Ft下，事件as Fss t发生的条件概率为；s (at),根据Bayes公式， ；(at)可以表示为:as(at)士丁如果asatoat0如果asa假定个体都是理性预期的，所有个体都相信当前资产价格是自然状态和时间t的函数，即可以表示为B( ,t)和Sq ,t)。记个体被赋予的长生命证券的数量为：，(0)，(一j(0)。个体的交易策略是一个 N+1维的随机过程，可以简记为：(,) (t), (t)( j(t)Ni：0,其中(t)和j(t)代表个体在t-i期交易发生后，到t期交易发生前所持有 的第0种资产和第j种资
11、产的数量。由于(t)和j (t)是在t-i期被决定的， 它们关于Ft可测，因此交易策略关于-适应。个体的消费计划是一个随机过程，可以简记为：c at)|t0,1,2,.,T。其中c(t)是t期消费量。定义：称一个交易策略(，)是可接受的(admissible),如果存在一个消 费计划c,满足：(t 1)B(t) T(t 1)S(t)(t)B(t) T(t)(S(t) X(t) c(t),(6.2.3)对t 0,1,.,T 1成立，且有：(T) T(T)X(T) c(T)。(6.2.4)相应地，我们也称该消费计划c是由交易策略(，)融资的，也称为上市的(marketed)。二、无套利条件和等价鞅
12、测度定义：一个套利时机是一个由可行交易策略融资的消费计划c,满足：1c非负，且至少存在某个时期t和事件atFt,有c(at ,t)0;2其成本非负，即(0) B(0) T(0)(S(0) X(0) 0。定义：一个随机过程 Y Y(t)|t 0,1,2,.,T被称为是一个在概率下对-适应的鞅，如果它满足:EY(s)| Ft Y(t), s t, 其中E. |F/是关于概率、给定Ft下的条件概率。定理：一个价格系统(B,S)不允许存在任何套利时机，当且仅当经济 中存在一个等价鞅。证明：必要性：假定价格系统(B,S)不允许存在任何套利时机。在价格系统下，个体i的最大化问题可以表示为：Tmax Ei
13、Uit (c(t), (,) 0、“Subject to:消费计划c由交易策略(，)融资，(0), (0) (-i(0),i(0)o求解该最大化问题，Euler方程为：Sj (t)EiUit 1(c (t 1) (Sj(t 1) Xj(t 1)|Ft,(6.2.5)Uit(c (t)Ed： 1 (c (t 1B(t i)|Ft如果t T -2B(t)Uit (c (t)0(6.2.6)E Uit 1(c (t 1如果t t-1Uit(ci(t)此处(6.2.5)式可以改写为：Uit(ci(t)Sj(t)EiUit 1(ci(t 1)(Sj (t 1) Xj(t 1)| Ft; (6.2.7)X
14、(6.2.6)式进行前向迭代，可以改写为:EiUis (c(S) B(s)|Ft如果t s T-1B(t)(6.2.8)Uit (ci (t)1EiUis( )| Ft如果s TUit(ci(t)1如果经济中存在一个风险中性的个体i ,且该个体并不存在任何时间偏爱，则我们有：Uis(ci (s)Uit(ci (t) 常数,s, t。代入(6.2.7)和(6.2.8)式，整理得:Sj(t) ESj(t 1) Xj(t 1)|Ft,B(t) 1。t记口人)Xj (s) , t 0,1,.,T ,则我们有：s 0Sj(t) Dj(t)EiSj (t 1) Dj(t 1)|FtEiSj(s)Dj(s)|FJ,s t。因此由资产的价格加上红利构成的随机过程是一个鞅，鞅测度是该风险中性 个体的主观概率测度。2如果经济中并不存在这样一个风险中性的个体，则我们可以构造出一个鞅测度。首先对价格过程和红利过程进行归一化:_ *Sj(t)Sj (t) / B(t) 如果t T0 如果t T*B (t)1如果t T0
