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1、平面向量的实际背景及基本概念学习目标知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量注意：向量的两个要素：大小和方向，缺一不可解题时，注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小思考已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有_，是向量的有_答案知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示以A为起点、B为终点的有向线段记作.(2)向量的字母表示：向量可以用字
2、母a, b, c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用， ， )(3)向量的大小：也就是向量的长度(或称模)，即有向线段的长度，记作|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量思考在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是_答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量也就是说，平行向量与共线向
3、量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆思考向量平行具备传递性吗？答案向量的平行不具备传递性，即若ab，bc，则未必有ac，这是因为，当b0时，a、c可以是任意向量，但若b0，必有ab，bcac.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”题型一向量的基本概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由若ab，则a一定不与b共线；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若向量a与任一向量b平行，则a0；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.解两个向量不相等，可能
4、是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故不正确，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故不正确在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，故，正确零向量的方向是任意的，与任一向量平行，正确ab，则|a|b|且a与b方向相同；bc，则|b|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故ac，正确若b0，由于a的方向与c的方向都是任意的，ac可能不成立；b0时，ac成立，故不正确跟踪训练1下列说法正确的有_(1)若|a|b|，则ab或ab；(2)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3)向量与是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量答案(3)解析(
5、1)错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系(2)错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上(3)正确向量和是长度相等，方向相反的两个向量(4)错误单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同题型二向量的表示及应用例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线
6、，又|，在四边形ABCD中，AB綊CD.四边形ABCD为平行四边形，|200 km.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)题型三平行向量与共线向量例3如图所示，ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点(1)写出与共线的向量；(2)写出与的模大小相等的向量；(3)写出与相等的向量
7、解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，所以与共线的向量有：，.(2)与模相等的向量有：，.(3)与相等的向量有：与.跟踪训练3如图，已知四边形ABCD为ABCD，则(1)与的模相等的向量有多少个？(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与共线的向量解(1)与的模相等的向量有，三个向量(2)与的模相等且方向相反的向量为，.(3)与共线的向量有，.对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；有相同起点的
8、两个非零向量不平行A1 B2 C3 D4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同正解事实上，对于，由于零向量与任意向量都共线，因此不正确；对于，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故不正确；对于，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而正确答案A1下列说法错误的是()A若a0，则|
9、a|0 B零向量是没有方向的C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的2下列说法正确的是()A若|a|b|，则ab B若|a|b|，则abC若ab，则a与b共线 D若ab，则a一定不与b共线3如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是()A. B|C. D.|b|，则ab；若向量|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|b|，且a与b的方向相同，则ab；向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反A1 B2 C3 D4二、填空题7若对任意向量b，均有ab，则a为_8给出以下5个条件：ab；|a|b|；a与b的方向相反；|a|0或|b|0；a与b都是单位
10、向量其中能使ab成立的是_(填序号)9在四边形ABCD中，且|，则四边形的形状为_10已知在边长为2的菱形ABCD中，ABC60，则|_.三、解答题11一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地(1)画出，；(2)求B地相对于A地的位置向量 12如图，已知.求证：(1)ABCABC；(2)，.13O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与，相等的向量；(2)找出与共线的向量；(3)找出与模相等的向量；(4)向量与
11、是否相等？当堂检测答案1答案B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的2答案C解析A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|b|，但a与b的方向不确定，不能说ab，A不正确；同理B错误；D中，ab，a可与b共线故选C.3答案B解析|与|表示等腰梯形两腰的长度，故相等4.解(1)，.(2)，.5证明，四边形ABCD为平行四边形，AD，BC平行且相等又，四边形CNAM为平行四边形，AN，MC平行且相等，DN，MB平行且相等，四边形DNBM是平行四边形当堂检测答案一、选择题1答案D2答案D3答案C解析当b0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行4答案D解析，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD互相平分，.5答案B解析a为任一非零向量，故|a|0.6答案C解析不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断
