《线性空间和欧式空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性空间和欧式空间（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 线性空间和欧式空间1线性空间及其同构线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫 做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素a和P，在V中都有唯 一的一个元素Y与他们对应，成为a与P的和，记为丫 =a + p。在数域K与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元 素a，在V中都有唯一的一个元素5与他们对应，称为k与a的数量乘积，记为8 = ka 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。加法满足下面四条规则：1) a + P = P+a ；交换律2) (a + p) +
2、Y=a + ( P+y)；结合律3) 在V中有一个元素0，对于V中任一元素a都有a + 0 = a (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元4) 对于V中每一个元素a，都有V中的元素，使得a + p = 0( p称为a的负元素).存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) 1a =a ；存在1元6) k(la) = (kl)以.数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7) (k +1)a = ka + la ；数的分配律8) k(a + p) = ka + kp .元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；a,p,y等表示集合V中任意元素。例1. 元素属于数域K的m x n矩阵，
3、按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K上的一个线性空间，记为M(K)。例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。例3. n维向量空间Kn是线性空间。例4.向量空间的线性映射的集合HomK (Km, Kn)是线性空间。二. 简单性质1 .零元素是唯一的。2. 负元素唯一。3. 0 = 0, k 0 = 0 , (1)a = a4. 若 ka =。，则 k = 0 或者 a = 0三. 同构映射定义:设V, V是数域K上的线性空间.A e HomK(V, V)是一个线性映射.如果A是一一 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
4、线性空间V与V称为同构的线性 空间。定理 数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。同构n线性空间分类u维数2线性子空间的和与直和子空间的和：设w,W是线性空间V的子空间，则集合w = a +a |a eW或a eW 12121122也是一个线性子空间，称为w,W2的和，记为W + W2.两个线性子空间的和W + W2是包含这两个线性子空间的最小子空间.满足交换律、结合律设a , ,a与P , , P是V的两个向量组.则1S 1tL(a，a ) + L(p R ) = L(a , ,a R , R )1s1t1s 1t
5、线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。定理：(维数公式)如果W,W2是线性空间V的两个子空间，那么dim(W) + dim(W ) = dim(W + W ) + dim(W c W )121212由此可知，和的维数要比维数的和来得小。推广到有限个线性子空间的和空间维数推论：如果n维线性空间V中两个子空间匕,匕的维数之和大于那么匕,匕必含有非零的公共向量。直和：设咋吗是线性空间V的子空间，如果咯+ W2中的每个向量a都能被唯一地表示成a=a +a a eW,a eW .则称W + W为直和，记为W W1211221212设W，W2是线性空间V的子空间，则下列结论互相等价：
6、(1W + w是直和；12(2) W c W = 0;(3) dim(W + W) = dim 吗 + dim W.设W是线性空间V的一个子空间，那么一定存在V的一个线性子空间U，使得V = W U满足上述条件的线性子空间U称为W的补子空间.推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和设W1，W, , W是V的线性子空间，则下列结论相互等价:W +. + W是直和；(2) 对，=1,.,m有W c W = 0;1 j 0，当且仅当a = 0时，(a,a) = 0这里a, P,y是V任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.例1在线性空间Rn中，对于向量a = (a , a ,
7、a ) , B = (b , b ,b )12n12n 定义内积(a, P) = a b + a b Hb a b .1 12 2n n则内积(1)适合定义中的条件，这样Rn就成为一个欧几里得空间.n = 3时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式例2在Rn里，对于向量a = (a , a ,，a ) , p = (b , b ,，b )12n12n 定义内积(a, P) = a b + 2a b + na b .1122nn则内积(1)适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例3在闭区间a,b上的
8、所有实连续函数所成的空间C(a,b)中，对于函数f (x), g(x)定义内积(f (x), g(x) = jb f (x)g(x)dx.(2)a对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间R x, R x n对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4令H是一切平方和收敛的实数列E = (x , x , . ., x ), x2 +3n=1所成的集合，则H是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.定义 非负实数T(a,a)称为向量a的长度，记为a |显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质:Ra|=l k I ai(3
9、)这里 k e R,a e V长度为1的向量叫做单位向量.如果,a。0由式，向量1a网就是一个单位向量.用向量a的长度去除向量a，通常称为把a单位化.(Cauchy-Buniakowski不等式)对任意的向量以，P,有l(a, p)|规定为= arccos(O), 0 ：a,。；兀根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式a+pi.则a在W上的正交投影为p(a) = (a，气)n,.i=1正交投影的求法：(1)用施密特正交化方法求出W的规范正交基，再用P (a) = (a，门)nWi ii=1(2) 设a =乙门gW，则a =a-a gW1, (a，门)=0解齐次线性方程组1i212 i(3)把(2)写成矩阵形式，解决ATAX = AY，P (a ) = AXW定理设W是欧几里得空间,的子空间，对于a g V,a1 g W是a在W上的正交投影的充分必要条件为1Ia-a111 a-P I,对所有的P gW.定义 设W是欧几里得空间V的一个子空间，a是V中的向量.如果W中存在一个向量6使得对所有的P gW有Ia-5 IIa-P I,那么称8为a在W上的最佳逼近元V中任意向量a在子空间W上的最佳逼近元存在且唯一，就是a在W上的正交投
