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1、巧用中位线妙解几何题三角形、梯形中位线定理是初中几何重要定理之一，当题目中含有中点条件时，添加一定的中位线会给我们解题带来便利，这是一种常用的辅助线，是一种重要的几何转化方法。一. 构造中位线，平移角例1. 如图1，已知BC=EF M D分别是边 BF、CE的中点，求证：/ 仁/2。分析：因为要证的是两个角相等，可以想到角的转移，可能利用同位角相等或在等腰三角形中出现的两个底角的相等来证明，又因GD 图1为M D分别是边BF、CE的中点，可想到中位线定理，于是我们连结BE可以得到两个三角形的中位线。证明：连结BE,取BE的中点N,连结 MN) DN/ M D分别是边 BF、CE的中点，111
2、MN/ EF, MNd EF, DN/ BC DN BC222/ 仁/ 3,/ 2=7 4,又/ 1 = / 2/ 3=/ 4。二. 构造中位线，巧用 Rt 斜边上的中线例2.如图2,在等腰梯形 ABCD中 , AD/ BC, AB=CD对角线交于点 0, / BOC=60 ,点E、F分别是0A 0B的中点，G是CD的中点，求证： EFG是等边三角形。1分析：由题意可知EF=AB,下一步去证出 EG=FG21 1=CD=AB即可，/ BOC=60 ,由等腰梯形的性质2 2可知， B0C AO%为等边三角形，连结 DE CF, 得到EG是Rt DEC FG是Rt CFD的中线，问题易解。证明：在
3、等腰梯形 ABCD中, AB=CD AC=BD BC=CB ACBA DBC / ACB=/ DBC/ BOC=60 , BOC为等边三角形，连结CF, F分别是OB的中点， CF 丄 OB在Rt CFD中，G是CD的中点，11FG二丄CD,同理可证EG= CD22点E、F分别是OA OB的中点，1 EF= AB,又 AB=CD2 EG=FG=EFG是等边三角形。三. 平移对角线，巧用三角形的中位线例3.如图3,在梯形 ABCD中, AD/ BC,ACL BD, / DBC=30，梯形中位线与边AB CD交于点E、F,求证：AC=EF分析：EF是上下底之和的一半，则 AC也必须是上下底之和的一半，对角线互相垂直，平移AC,恰好构造出30直角三角形，而斜边长也是上下底之和，问题迎刃而解。证明：过D作DG/ AC交BC延长线于G,得L ACGD , AD=CG AC=DG BG=BC+CG=BC+AD/ ACL BD, BD丄 DG在 Rt BDG中，/ DBC=30 ,1 DG= GB,21 AC=GDd (BC+AD ,2T EF是梯形中位线，1 EF=_ ( BC+AD,2 AC=EF
