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1、新编人教版精品教学资料第一课时等比数列的前n项和预习课本P5558，思考并完成以下问题(1)公比是1的等比数列的前n项和如何计算？(2)能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？(3)能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？(4)等比数列前n项和的性质有哪些？1等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1，末项an与公比q公式SnSn点睛在应用公式求和时，应注意到Sn的使用条件为q1，而当q1时应按常数列求和，即Snna1.2等比数列前n项和的性质(1)等比数列an中，若项数为2n，则q；若项数为2n1，则q.(2)若等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3
2、nS2n成等比数列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0)(3)若一个非常数列an的前n项和SnAqnA(A0，q0，nN*)，则数列an为等比数列，即SnAqnA(A0，q0，q1，nN*)数列an为等比数列1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)求等比数列an的前n项和时可直接套用公式Sn来求()(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Snna()(3)若某数列的前n项和公式为Snaqna(a0，q0且q1，nN*)，则此数列一定是等比数列()解析：(1)错误在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q1，可直接套用，否则应讨论求和(2)
3、正确若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Snna.(3)正确根据等比数列前n项和公式Sn(q0且q1)变形为：Snqn(q0且q1)，若令a，则和式可变形为Snaaqn.答案：(1)(2)(3)2设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12，a24，那么S10等于()A2102 B292C2102 D2112解析：选D等比数列的公比q2，所以前10项和S102112，选D.3等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4C2 D2解析：选A由S544，得a14.4设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则等于()A2 B4C. D.解析：选C.等比数
4、列的前n项和公式的基本运算典例在等比数列an中，公比为q，前n项和为Sn.(1)a18，an，Sn，求n；(2)S3，S6，求an及Sn.解(1)显然q1，由Sn，即，q.又ana1qn1，即8n1，n6.(2)法一：由S62S3知q1，由题意得，得1q39，q38，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，Sn2n1.法二：由S3a1a2a3，S6S3a4a5a6S3q3(a1a2a3)S3q3S3(1q3)S3.1q39，q38，即q2.代入得a1，ana1qn12n12n2，Sn2n1.在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不
5、明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用活学活用已知a6a424，a3a564，求S8.解：法一：由题意，得化简得，得q213，负值舍去，q24，q2或q2.当q2时，代入得a11.S8255.当q2时，代入得a11.S8.综上知S8255或.法二：由等比数列的性质得a3a5a64，a48.当a48时，a6a424，a632，q24，q2.当a48时，a6a424，a616.q22，无解故q2.当q2时，a11，S8255.当q2时，a11，S8.综上知，S8255或.等比数列的前n项和的性
6、质典例等比数列an的前n项和Sn48，前2n项和S2n60，则前3n项和S3n_.解析法一：设公比为q，由已知易知q1，由所以S3n1(qn)36463.法二：由Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列，得(S2nSn)2Sn(S3nS2n)，即(6048)248(S3n60)S3n63.答案63运用等比数列求和性质解题时，一定要注意性质成立的条件否则会出现失误如Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列的前提是Sn，S2nSn，S3nS2n均不为0.活学活用1设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C. D3解析：选B由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，
7、由S63S3，可推出S9S64S3，S97S3，.故选B.2一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式解：设数列an的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇S偶4S偶，即S奇3S偶因为数列an的项数为偶数，所以有q.又因为a1a1qa1q264，所以aq364，即a112，故所求通项公式为an12n1.等比数列及其前n项和的综合应用典例(1)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)(2)设Sn为数列an的前n项
8、和，Sn(1)nan，nN*，则a3_；S1S2S100_.解析(1)由a5a2q3，得q3，所以q，而数列anan1也为等比数列，首项a1a28，公比q2，所以a1a2a2a3anan1(14n)(2)anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求得a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).答案(1)C(2)求解数列综合问题的步骤(1)分析题设条件(2)分清是a
9、n与an1的关系，还是an与Sn的关系(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意anSnSn1(n2，n为正整数)在an与Sn的关系中的应用(4)整理求解活学活用1公差不为0的等差数列an的部分项ak1，ak2，ak3，构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.解析：设等差数列an的公差为d，因为a1，a2，a6成等比数列，所以aa1a6，即(a1d)2a1(a15d)，所以d3a1，所以a24a1，所以等比数列ak1，ak2，ak3，的公比q4，所以ak4a1q3a14364a1.又ak4a1(k41)da1(k41)(3a1)，所以a1(k41)(3a1)64a1，a10，所以3k4
10、264，所以k422.答案：222(浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解：(1)由题意得则又当n2时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN*.(2)设bn|3n1n2|，nN*，则b12，b21.当n3时，由于3n1n2，故bn3n1n2，n3.设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3时，Tn3，因为当n2时，也符合Tn.所以Tn层级一学业水平达标1设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于
11、()A1B0C1或0 D1解析：选A因为SnSn1an，又Sn是等差数列，所以an为定值，即数列an为常数列，所以q1.2已知数列an是公比为3的等比数列，其前n项和Sn3nk(nN*)，则实数k为()A0 B1C1 D2解析：选C由数列an的前n项和Sn3nk(nN*)，当n1时，a1S13k；当n2时，anSnSn13nk(3n1k)23n1.因为数列an是公比为3的等比数列，所以a123113k，解得k1.3已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于()A31 B33C35 D37解析：选B根据等比数列性质得q5，25，S1033.4已知等比数列an的前n项和为Sn，a1
12、a3，且a2a4，则()A4n1 B4n1C2n1 D2n1解析：选D设等比数列an的公比为q，则解得2n1.故选D.5等比数列an的前n项和为Sn，S52，S106，则a16a17a18a19a20等于()A8 B12C16 D24解析：选C设等比数列an的公比为q，因为S2nSnqnSn，所以S10S5q5S5，所以622q5，所以q52，所以a16a17a18a19a20a1q15a2q15a3q15a4q15a5q15q15(a1a2a3a4a5)q15S523216.6等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q_.解析：设an的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，由题意S偶S奇3S奇，即S偶
