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1、高二数学第二学期期末考试模拟卷数学试题、选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分）1.设 S (x 1)4 4(x 1)3 6(x21) 4x 3,则S等于A. x4B, x4+1C. (2)4D , x4+42.从1,2,这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是3 .已知自由落体运动的速率4 .若（3x5 .设随机变量4B.一911 C.2110 D .21B.白n(n N- xB. 3N(0,1),A. 2 (1)6 .如果复数ZV gt ,则落体运动从tto所走的路程为gt。2C.gt022gt0 2）展开式中含有常数项,n的最小值是C. 12D. 10记 （x
2、）P( x),则P( 11）等于（A ）(1)-D .2(1)( 1)ai满足条件|Z2|2,那么实数a的取值范围是A. ( 2 .2,2,2)B . ( 2,2)C ( 1,1)3, . 3)0）,在复平面内,7 .已知复数 Zia bi,Z2b ai（其中a、b都是实数，且abZ1、Z2所对应的点与原点组成的三角形是（C ）A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8 .在下列四个命题中：已知A、B、C、D是空间的任意四点，则AB BC CD DA 0 ；若 a,b,c为空间的一组基底，则a b,b c,c a也构成空间的一组基底;|(a b)|C |a| |b|向；对
3、于空间的任意一点O和不共线的三点 A、B、C,若OP xOA yOB zOC (其中 x,y,z R),则 P、A、B、C 四点共面.其中正确的个数是(B )A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，计30分)9 .若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在直线5下、，一1万的概率是一.61 110,已知, A(1,1), B(2,3), C(3,-1),在矩阵2112作用所得到的图形围成的面2 2积是.I i n 1 i nII .设f (n)()n()n(n N),则集合xx f(n)中元素的个数是 3_1 i 1 i121 19-25
4、=X12 .曲线y x2,x 0, y 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为。(1 x2)dx .13 .已知M 4 31 , N43 11 ,则满足方程MX14 .如图，已知命题：若矩形的对角线与边和所成角分别为、，则COS2COS21,若把它推广到长方体一A1B1GD中，试写出相应命题形式:若长方体1_B_1C1D_1 一的对角线_与工一，L,所成的角分别为 ,:则2COS22COS cos 1。三、解答题(共90分)15.设虚数Z12,满足2Z1Z2 .(1)若Z12又是一个实系数二次方程的两根，求Z1, Z2.(2)若Z1=1(i为虚数单位，m R), | Z1 | J2,复数2+
5、3，求的取值范围.解：(1)：Z1,Z2是一个实系数二次方程的两个虚根,因此必共轲,可设 Z1( e R 且 bW0),则 Z2-,2由Z1z2得()2 一 即:a2- b2+2 根据复数相等,Z1Z2(2)由于Z1bw 02ab乌23 .i2Z1Z2解得:12- 3212叵2Z2, Z1=1, 2 + 3, |w|:(4 m2)2 4m2由于|Z13 .i2乌2. (1)2+3=4 m2+2.(m22)厂12,| ，2 且 mw0,可解得 0m2w 1,令 m2|w| (u 2)2 12,在 uC(0,1)上，(u 2)2+12 是减函数，|w| Ji3, 4).16.函数数列 fn(x)满
6、足：fi(x)二(x1 x20)fn i(x)fifn(x)求 f2(X), f3(X)；(2)猜想fn(x)的表达式,并证明你的结论。解：f2(x)fi(fi(x)fi(x),1fi2(x).12x22f3(x)fl(f2(x)f2(x)1 f22(x)x,1 3x22猜想：fn(x)卜面用数学归纳法证明：当1时,fi(x)假设当K(K一 (n N )2nx=,已知，显然成立x13则当n1时,fk i(x)fi(fk(x)即对nK 1时,结合可知：猜想17.设有编号为1)时，猜想成立，即fk(x)fk(x),1fk2(x)猜想也成立。fn(x)2, 3,个球放入5个盒子内.(1)只有一个盒子
7、空着,(2)没有一个盒子空着,kx2x1kx21 (、1xkx2)211 (k 1)x23=2对一切n nx5的五个球和编号为共有多少种投放方法?1,都成立。22, 3, 4, 5的五个盒子，现将这五但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法?(3)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：(1) C52A54=1200 (种)4 分(2) A55-1=119 (种)8 分(3)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：。种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号
8、与盒子编号相同的放法：2c52=20种.满足条件的放法数为：1+10+20=31 (种)14 分18.如图，正方体一A1B1C1D1中，点E是棱的中点，点 F是棱上的动点.(I )试确定点F的位置，使得DE，平面F；(n)当D1E，平面1F时，求二面角 C1A的余弦值以及1与面C1所成的角的大 小.解：(1)以A为原点，直线、1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A(0 0 0), B(1,0,0),D(0,1,0)不妨设正方体的棱长为1,且DF x,则A1(0,0,1),1Bi(1,0,1),Di(0,1,1)E(1,0), F(x,1,0) 2一 1于是 DiE(1, -, 1), AB
9、1(1,0,1), AF (x,1,0)2由 D1E 面AB1FD1E AB1 且 D1E AF1于是DiE ABi 0与DiE AF 0,可解得x 2所以当点F是的中点时，D1E平面AB1F1当D1E 平面AB1F时，F是的中点，F(1,1,0)2平面的一个法向量为 m (0,0,1)11 1而在平面 Ci 中，EC1(0,-,1), EF ( 一，一,0)22 2所以平面C1的一个法向量为n (2,2, 1)1 1cos m,n - , m, n arccos- 33又因为当把 m ,n都移向这个二面角内一点时，m背向平面，而n指向平面1故一面角 Ci A的大小为arccos-32又 BA
10、 ( 1,0,1), cos BA,n,所以 BA,n135021与平面C1所成的角的大小为45.19 .在一个盒子中，放有标号分别为1, 2, 3的三张卡片，现从这个盒子中,先后抽得两张卡片的标号分别为x、 y,记 x 2 y x.(I)求随机变量 的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；C1有放回 地 (n)求随机变量的分布列和数学期望.x 2 1 , y x 2,3,且当 x 1 , y 3或 x 3, y因此，随机变量的最大值为3.有放回抽两张卡片的所有情况有1时， 33 3 9 种,解：(I) x、y可能的取值为1、2、3,2P( 3)-.9答：随机变量的最大值为3,事件“ 取得最大
11、值”的概率为 -.9(n)的所有取值为0,1,2, 3.0时，只有x 2 , y 2这一种情况，3四种情况,1 时，有 x 1 , y 1或 x 2 , y 1或 x 2 , y 3或 x 3 , y2时，有x 1 , y 2或x 3 , y 2两种情况.142P( 0) P( 1)P(2)99901231422P9999的分布列为:则随机变量一142214因此，数学期望E 0114223-14 .9999920.当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互 影响，为了简便起见，不妨做如下假设：(1)由于自然繁殖，兔子数每年增长10%狐狸数每年减少15%(2)由于
12、狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；(3)第n年时，兔子数量 Rn用表示，狐狸数量用 Fn表示;(4)初始时刻(即第0年)，兔子数量有 R 100只，狐狸数量有F0 30只。(1)列出兔子与狐狸的生态模型;(2)求出Rn、Fn关于n的关系式;(3)讨论当 的理由。n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你解：RnFn1.1Rn0.1Rn0.15Fn0.85Fn1(n 1)14设1.10.150.10.85M n1M(M n2)=M又矩阵M的特征多项式f()1.1 0.150.10.851.950.95 (1)(0.95)请用所学知识解决如下问题:令 f( ) 0得：11, 2 0.95特征值11对应的一个特征向量为特征值2 0.95对应的一个特征向量为1003031701102170 1 110 2210 110?0.95n140 110?0.95n31M n 0 70 n 1 110 2 2 =70110?0.95n2114Rn 210 110?0.95nFn 140 110?0.95n当n越来越大时，0.95n越来越接近于0, Rn,Fn分别趋向于常量 210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定 的平衡状态。2
