《全等三角形经典题型——辅助线问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形经典题型——辅助线问题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形三线合一法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用三线合一的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线
2、段两端5.用截长法或补短法：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而
3、为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的对折法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的旋转法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，1可以自角平分线上的*一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等
4、三角形。3可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的*点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上*一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠5) 截长法与补短法，具体做法是在*条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将*条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) *线段的垂直平分线，则可以在垂直平分线上的*点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把*点到原三角形各顶点的线段连接起来，利
5、用三角形面积的知识解答一、倍长中线线段造全等例1、，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值围是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形三线合一法)延长FD至G使FG2EF，连BG，EG,显然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BA
6、E.解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC，GDC=ACD由于DC=AC，故ADC=DAC在ADB与ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE应用：1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：1，；证明：延长AM到G
7、，使，连BG，则ABGC是平行四边形GCHABDMNE，又再证：，延长MN交DE于HFCPABDMNE2结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使，FA交DE于点P，并连接BF，在和中SAS，又，且，二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC解：截长法在AB上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADCSASACDAFD90即：CDA2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：截长法在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFESASADEAFE，ADE+BCE
8、180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBEAAS故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图，在ABC，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：补短法,计算数值法延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACPASA故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证：解：补短法延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDCSAS故DFBDCB ，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+B
9、CD1805、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：补短法延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFPSAS故BPPF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,
10、各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,则BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60度.则COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD
11、=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFCHL故有BECF。AB+AC2AEAEa+b/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB
12、是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。解：1FE与FD之间的数量关系为2答：1中的结论仍然成立。证法一：如图1，在AC上截取，连结FG ，AF为公共边，FBEACD图 12143G，AD、CE分别是、的平分线及FC为公共边证法二：如图2，过点F分别作于点G，于点H FBEACD图 22143HG，AD、CE分别是、的平分线可得，F是的心，又可证五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形A
