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1、 .第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。而研究大变形物体的变形过程，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程即变形体内质点的运动规律。要选取某一坐标系：初始（initial）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring）坐标系; 瞬时（current）坐标系.1 物体运动方程：物体
2、构形（configuration）内一点P的增量运动方程。选择两个固定坐标系,以t时刻物体构形作为参考构形的坐标系ai, 以时刻物体构形作为参考构形的坐标系xi研究（）具有普遍意义时刻 ； 时刻 t增量步内，P的变形 （1）研究时间步内物体内一点P的变形。最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。2 应变度量研究P点附近线素变形 在 时间步内 线素变形 （1）将在坐标系中，在P点处作一阶泰勒展开并考虑到得代入(1) 式得 (2)同理将在xi坐标系中，在P点处作一阶泰勒展开,并考虑到得代入(1) 式 (2)-附：若位移是坐标的单值连续函数，则可在空间中p点处展成泰勒级数. i.e 代入（1）式 写成
3、张量形式： (2)同理若将位移在坐标系中p点处展成泰勒级数并取一阶项：代入（1）得 (2)-上两式中 其中 和 可分别记为和，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将分解成对称部分和反对称部分。i.e. (3)其中 (4)同理 (3) (4)将（3）（4）和 (3) (4)代入（2）(2)得变形前线素 (5) 变形后线素 (5)为了定义应变要讨论时间步内线素的长度变化t时刻变形前线素长度 ： 长度ds0 (6)t+时刻变形前长度 ： 长度ds (6)定义应变为: 和 (7)和(7) -附录：P1231. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上
4、。从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。所以，外力P无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。当铰2有了一定的微小法向位移之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P，而平衡与变形有关。平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。物体作平面转动的刚体运动。角速度为，时间内转动量为。按小变形理论，向线素，经转动后成为，则当较大的时候，这显然是不真实的错误解。只有当时，。因此，线性应变理论不适用于大变形状态。3、关于相对位移张量和不对称性在坐标系下，表示位移，则，其中称相对位移张量，即相对位移张
5、量是非对称张量，因为。例如对于平面内变形： 其中是工程应变，是应变张量分量。这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分 (3)其中为对称部分称为应变张量；为非对称部分称为刚体转动分量表示同理 (3)-为了求，将（2）代入（5） (8)上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：1) 当时，2)3)同理，将 (2) 代入 (5) (8)将 (8) 和 (8) 代入 (5) 和 (5)，得 (9) (9)统一表示为： (10)(10) 式恰好反映了增量步内，线素（P点）的应变量，是以时刻的物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而是以+时的坐标描述的。前者称为Green应变，取相对坐标系。后者
6、称为Almansi应变，取即时坐标系。讨论：如果将初始构形和变形后的构形看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项（）也比较小，则可认为平方项（）趋近于零，那么 (9) 式和 (9) 式就完全相同。和退化为通常的线性应变。5-2 物体内一点的应力度量引言：就应力的概念而言，是定义在变形物体所处平衡状态的一点位置上的。也就是定义在某一时刻的物体位形上。由于上面应变是定义在不同构形所相应的参考坐标系下，所以应力在不同坐标系下也有多种应力表示。设力向量表示作用在物体处于某一平衡位形下，微面积ds上的合力，在直角坐标系下的各分量为（i=1，2，3）,微面积ds的外法线方向上单位向量，各分量li
7、为外法线的三个方向余弦。该点应力向量定义为: 。1、Euler应力（True stress）该应力时定义在变形后的物体微面积ds上，用表示则由Cauchy公式得： (13)该应力和Almansi应力相对应 分量形式： 2、Lagrangion应力（nominal stress）(1th Pida-kirchhoff)把变形后微面积ds上的应力，定义在变形前的微面积dso即用初始坐标系来表示。将ds上的力dPi,转向初始位形相应的微面积dso上，而在转换过程中保持力的大小和方向不变。力平移 (14)并在初始微面积上定义 (15)即将物体变形后微面积ds的应力用初始位移下相应微面积dso上的力来表
8、示。称为Lagrange应力。3 Kirchhoff应力（back transformed stress） (2nd pida-Kirchhoff stress)将变形后物体微面积ds上的合力dPi,按照张量变换，转换到初始位形的相应微面积dso上，而不是平移。则 () (16)其中 在初始构形的微面积上，定义应力sij称为Kirchhoff应力 (17)附：关于方向余弦lij张量定义 ； 是不对称张量。性质 例在二维平面中在 坐标下 ， P点（，）在 坐标下 ， P点（，）Ie. 同理 4、 Euler应力、Lagrangion应力和Kirchhoff应力之间的关系将（15），（16）式代入
9、（17）式得： (18)即 利用变形过程中微元的质量不变条件 (19)其中和分别为初始和变形后的密度将（19）式代入（13）（14）式由（13）式右端=（14）式右端得 (20)由(19) (21)(21)式代入(20)得： (22)(22)式代入(18)式 (23)以上(18) (22) (23)式给出了三种应力之间的关系。上述关系中 为Euler应力是对称的。Tij为Lagrangion应力是不对称的，因为力是通过向量平移过来的。Sij为Kirchhoff应力是对称的，因为力是通过向量转换过来的。5.3大变形过程中弹性本构方程这里仅讨论单纯的几何非线性问题，而材料本构方程仍为弹性的。需要注意的是在不同的坐标系下，采用相应的应变和应力来表示。即在当前构形的坐标系下，采用Euler和Almansi应变在相对（参考）构形 采用Lagrangion应力和Green应或采用Kirchhoff应力和Green应变设变形体在无热交换的保守系统中，物体处于平衡状态下，由本构关系 弹性阵有34个(81)个）系数 (24)将上面关系式（12）（22）和（23）它们分别给出了和之间的关系。代入(24)式可得： (25)和 (26)其中： 非对称弹性阵 对称弹性阵
