巴特沃斯低通滤波器的设计

巴特沃斯低通滤波器的设计iiJ图a巴特沃斯低通滤波器的振幅特性1、巴特沃斯滤波器的介绍巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为. 1I H (认)|2 =1 + C 2 人 2 N其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，人为归一化低通截止频率,式中N为整数，是滤波器的阶次巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在0处幅度平方函数的前2N- 1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变 化的巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如 图a所示滤波器的特性完全由其阶数N决定当 N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然由a式决定了在Q = Q处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更 大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近 于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形 频率特性滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图a所示设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为人，归一化传递函数为H(p)，其中p = j，则可得:H (八)|2X=P 1 + C2(-1)N p 2Nj由于H (s)H (-s) = A2(Q)1咨-js 1 + (^L)2Njc所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。

2、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标人：通带截止频率；a :通带衰减，单位：dB；力：阻带起始频率;a ':阻带衰减，单位：dB说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即a = 10lg ——1——=10lg「1 + C 2 人 2NHS)|2 L（2）当a = 3dB时Q =QC为通常意义上的截止频率3）在滤波器设计中常选用归一化的频率X =Q/Q，即Ci QX — s-s Qpp图b为巴特沃斯低通滤波器指标3、设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：（1）计算归一化频率X — —p =1，X^ Q^a10^1计算巴 a_1010 -1p p（2）根据设计要求按照C2 =10# -1和N — 些其中 lg Xs特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当a广3dB时C=13）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数H（p）；（4）令H（p）中的p = j得到截止频率为Q的巴特沃斯低通滤波器的系统 P函数4、例题设计试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率f广5000Hz，通带最大衰 减a = 3dB，阻带起始频率f = 10000Hz，阻带最小衰减a =30dB解：已知Q = 2兀 f = 2兀 x 5000，a = 3dB，Q = 2兀 f = 2兀 x 10000，a = 30dB（1） 计算归一化频率人=寿=1，人=Q=2。

p p（2） 计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及CaC2 = 10* - 1 = 100.3 - 1 = 1103 — 1100.3 - 1选择N=531.637N =昭== 4.982 lg \ lg2（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数H（p）；H (p)=p5 + 3.2361p 4 + 5.2361p3 + 5.2361p 2 + 3.2361p +1（4）去掉归一化影响H(s) = H(p)\ - p=1020 兀 5Q ps5 + 3.236x104兀 s4 + 5.236x108兀2s3 + 5.236x1012兀3 s2 + 3.236x1016兀4 s +1020兀55、程序设计代码如下wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');[B,A]=butter(N,wc,'s');k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,2,1);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));grid onxlabel('^pAE£^kHz£©');ylabel('-u^E£^dB£©')axis([0, 14, -40, 5])运行结果如下：□令9邕fe似&0⑥娈口国□ Q■ Figure 1File Edit View Instrt Tools Qesktcp Window/ Help5 10频率(kHz)6、实验结论通过设计巴特沃斯低通滤波器，让我对巴特沃斯低通滤波器有了更深的理解， 也让我产生了兴趣，其实，巴特沃斯低通滤波器主要是根据设计指标要求七,ap ,气，a、确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤 波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数 H(s)。