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1、一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。如一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根判别式b24ac在中学数学中有着广泛的应用。一、 在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。但用判别式“”来解就简单了。比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-
2、5y+6)=0把x看成未知数 =m2-41-(y2-5y+6)=420y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积, 必须是一完全平方式即(-0)2-44(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。 一 个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。就要看这个二次三项式对应的一元
3、二次方程的根判别式b24ac的情况,若0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当=0时,二次三项式是一个完全平方式。如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。 解:令3x2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, =b2-4ac=(-4)2-432k=16-24k (1) 当0,即16-24k0,得k时,二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内能分解因式；(2)当0,即16-24k0,k时二次三项式3x2-4x+2k在实数范围
4、内不能分解因式；(3)当=0,即164k=0, k=时二次三项式3x2-4x+2k是一个完全平方式。二、在计算中的应用: 有许多计算题如果用常规的方法算起来非常复杂,甚至计算不出来,但是如果我们建立方程,借助于根的判别式就迎刃而解了。如:计算 . 解:设=x (x为实数) 则有x3=()3. 整理得: x3=4() 化简得: x3=4x . x3+x4=0 (x1)(x2 +x+4)=0 x-1=0 x=1 或 x2+x+4=0 因=1-414=-150无实数根。 所以方程x2+3x-4=0只有一个实数根x=1 再如:已知x、y为正实数,且xy=x+y,求x+y的最小值.解:设x+y=m,则y
5、=m-x,把y=m-x代入xy=x+y中得x(m-x)=m化简 得:x2-mx+m=0 . =(-m)2-41m=m2-4m x、y为正实数 m也为正实数.且 =m2-4m0 .解之得m4 .m的最小值为4 . 即x+y的最小值为4 . 三、在判定一元二次方程的根的情况的综合应用: 单独的一个一元二次方程的根的情况很容易判定,如果要同时判定几个相互有联系的一元二次方程的根的情况时,就需要灵活的应用判别式；例如:设a ,b ,c为互不相等的非零实数,证明三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0,不可能都有两个相等的实数根。 分析:判断方程有无实数根,关键
6、是证明值的情况。如果三个方程都有两个相等的实数根,则三个方程的根的判别式之和必为0,因此,此题要判断的是三个方程根的判别式之和与0的关系。解:由方程ax2+2bx+c=0得判别式1=4b2-4ac,同理得方程bx2+2cx+a=0的判别式2=4c2-4ab,方程cx2+2ax+b=0的判别式3=4a2-4bc而1+2+3=4a2+4b2+4c2-4ab-4ac-4bc=2(a-b)2+2(b-c)2+2(c-a)2.又a,b,c为互不相等的非零实数,(a-b)20,(b-c)20,(c-a)20.1+2+30 三个方程中不可能都有两个相等的实数根. 四、判定图象的位置关系 有些几何图形的位置仅
7、从几何的角度去考虑,简直无法入手,但是它的已知条件又跟一元二次方程有关系。我们就可以巧妙的应用判别式“”,就能得心应手的解决了。如:一元二次方程(a2+b2)(x2+1)+c2=c(a+b)(x-1)-2abx=0有实数根。判定两圆的位置关系。 解:由原方程整理得:(a2+b2)x2-2(ac+bc-2ab)x+a2+b2+c2-2ac-2bc=0因方程有有实数根,所以0 ,即=-2(ac+bc-2ab)2-4(a2+b2)(a2+b2+2c2-2ac-2bc) =-(a-b)2(a+b-c)20, 所以(a-b)2(a+b-c)20 又因 ab所以(a-b)20, (a+b-c)2=0,a+
8、b-c=0，a+b=c, 故两圆相切。 五、判定几何图形的形状 有些几何图形的形状从几何的角度不好判定,可以从代数的角度去考虑。如果跟一元二次方程有关系的,首先从判别式“”的角度去考虑。如:已知a、b、c为三角形的三边,且一元二次方程b(x2-1)-2ax+x2+1=0有两个相等的实数根。求证这个三角形是直角三角形。 证明:由b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0得（c+b）x2-2ax+c-b=0 又因方程有两个相等的实数根，所以有（-2a）-4(c+b)(c-b)=0 4a2-4c2+4b2=0, a2+b2=c2,由勾股定理逆定理可知ABC是直角三角形。 六、判定二次函数的图象与x轴
9、的关系 二次函数是初中数学的又一个难点,特别是二次函数的图象与x轴的关系的综合问题,如果不认真分析题意,找出解题的简便方法,解起来是非常复杂的。因为二次函数与一元二次方程有关,所以教师要善于引导学生,巧妙的应用根的判别式来解题,把复杂的问题简单化.如:已知a、b、c为三角形的三边,二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b),当B是钝角时,求证:二次函数的图象与x轴没有交点. 证明:在ABC中,由余弦定理得CosB=因为B为钝角,所以CosB0.又因2ca0,所以c2+a2-b20, =(2c)2-4(a+b)-(a-b)=4c2+4a2-4b2=4(c2+a2-b2)0.所以二次函数的图象
10、与x轴没有交点. 六、在研究不等式方面的应用 在初中数学中,有些不等式的证明非常复杂,学生对不等式的证明感觉得很困难,所以我们把不等式的问题转化成一元二次方程,应用根的判别式来处理就简单了.如:已知a、b、c是实数,且a+b+c=0,abc=1.求证:a、b、c三个数中必有一个大于 证明:a+b+c=0, abc=1.a、b、c三个数中必有一个是正数,两个是负数.不妨假设a为正数,又b+c=-a,bc= b、c是一元二次方程x2+ax+=0的两个根.又b、c为实数,0.即a2-0，a0,a3-40,a34,a= a 八、求函数的解析式 在初中,求二次函数的解析式又是一个难点,如果已知条件与一元
11、二次方程有关,请注意根的判别式的应用.如:设y是x的二次函数,最小值是-2,它的图象通过点(1,0),并且与直线x+y=0只有一个交点,求这个二次函数的解析式.CNAMB 解:由题意设二次函数的解析式为y=a(x+k)2-2,且过点(1,0),所以有a(1+k)2-2=0了即ak2+2ak+a-2=0 又直线x+y=0与二次函数y=a(x+k)2-2只有一个交点.用代入法得到的一元二次方程-x=a(x+k)2-2只有一个解.即一元二次方程ax2+(2ka+1)x+ak2-2=0有两个相等实数根.=(2ak+1)4a(ak2)=0，化简得8a+4ak+1=0 由、联立求解得a= k=-5 .所求
12、的二次函数的解析式为y=x+(5)2-2.九、在平面几何作图中的应用在初中数学中,有些平面几何的作图题非常难,甚至无法作.如果有直角三角形出现的,可以考虑应用勾股定理来建立方程,将建立起来的方程再转化成一元二次方程,应用根的判别式“”来求解.如图:在ABC中,A=900.在AB边取一点M,在AC边取一点N,设线段MN将ABC的面积二等分,求这样的线段中的最小者,并作出线段MN. 解:设线段MN为所求线段，AM=x，AN=y，AB=a，AC=b,MN=z,由题意2xy=ab, x2+y2=z2(x+y)2-2xy=z2.(x+y)2=z2+2xy=z2+ab ,x+y= 由、知x、y是方程x2-
13、x+=0的的两根,又因x、y是正实数,所以0即-2-410,z2+ab-2ab0,z2ab,z0,z.当z=时,由解得x=,即x=y=.AMN为等腰直角三角形时,MN的长度最小.又由知2x2=ab,x2=.b ,所以x是、b的比例中项,即x是和AC的比例中项.作图略. 十、在解方程和方程组中的应用 有些方程和方程组,解起来非常复杂,有个别的甚至解不出来.我们就可以将方程或方程组转化为一元二次方程,再用判别式“”来解.如:已知x、y、z满足方程x=6-y,z2=xy-9,试求实数x、y、z的值.解:由题意有:x+y=6,xy=z2+9.所以x、y是方程X2-6X+z2+9=0的的两个实数根,又因
14、x、y为实数,所以0.即(-6)2-41(z2+9)0 -4z20, z20,又因z20,所以z2=0,z=0,则方程X2-6X+z2+9=0有相等实数根.即X2-6X+9=0有两个相等实数根X1=X2=3.x=y=3,z=0 .又如:在实数范围内解方程组:x+y+z=+5 解:由 得: x+y+z+1- -6=0,设m=则变形为m2-m-6=0解之 得:m1=3,m2=-2(不合题意舍去),所以=3,即x+y+z+1=9,x+y+z=8.由、联立求解得:x=,y=,z=. 十一、研究参数的变化范围 有时要确定某个参数的变化范围,如果它与一元二次方程有关,可以首先考虑判别式“”的应用.如:m为何值时,一元二次方程x2-(3-m)x+m=0的两个实数根都为正数.解:要使一元二次方程的两个实数根都为正数,必须且需m03-m0(3-m)2-4m0 解不等式得m0, 解不等式得m3,得解不等式得m9或 m1.所以不等式组的解集为 0m1.答:当0m1时 一元二次方程x2-(3-m)x+m=0的两个实数根都为正数. 十二、有关几何图形中求面积的最大值和最小值问题 有时要求符合条件的几何图形中的最大面积和最小面积时,从几何的角度又无从下手,可以考虑先建立二次函
