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1、第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题1.向量组线性无关的充分必要条件为( )A. 均不为零向量;B. 中任意两个向量的分量不成比例;C. 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示;D. 中有一部分向量线性无关.解: C.2.均为n维向量,则下列结论正确的是( )A. 若则线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数,都有则线性无关;C. 若线性相关,则对任意一组不全为零的数,都有D. 若,则线性无关.解: B.3.线性无关,则以下线性无关的是( )A. B. C. D. 解: C.对A中向量有,对B中向量有,对D中向量有对C中向量有所以选择C.4.是两向量组,若存在两组不全
2、为零的实数使得,则( ) A. 都线性相关; B. 都线性无关; C. 线性相关; D. 线性无关.解: D.将已知等式变形得 .5.设线性无关, 线性相关,则( ) A. B. C. D. 解: C.由已知得从而6.设可由向量组线性表示,但不能由() 线性表示,记() ,则( )A.不能由()及()线性表示; B.不能由()线性表示,但可由()线性表示;C.可由()及()线性表示; D.可由 ()线性表示,但不能由()线性表示.解: B.设 (*)则必有,否则与不能由线性表示矛盾.对(*)式变形即得可由()线性表示.7.向量组线性无关, 也线性无关,则( ) A., B. , C. , D.
3、 解: D.,线性无关,故选(D)8.设均为n阶非零矩阵,且,则和的秩 ( )A.必有一个等于零; B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n; D.都等于n.解: B.由和得: 方程组有非零解,所以,同理可得: 故选B.9. 设矩阵的秩为为m阶单位阵,下述结论正确的是( )A.矩阵的任意m个列向量必线性无关;B.矩阵的任意一个m阶子式不等于零;C.若矩阵满足,则;D.矩阵通过初等行变换,必可化为的形式.解: C.若,则即:的列向量均为方程组的解.而即: 为列满秩矩阵,所以, 方程组仅有零解.亦即: 10.设有向量组则该向量组的极大线性无关组是 ( )A. ; B. ; C. ; D. 解:
4、B.以该向量组为列构造矩阵,对施行初等行变换:,初等行变换不改变列向量组间的线性关系.所以, 为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组中,则下列结论成立的为( ) A.r=m时,方程组有解; B.r=n时,方程组有唯一解; C.m=n时,方程组有唯一解; D.rn时,方程组有无穷解.解: A.r=m时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设为mn矩阵,B为n维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解;B. 若有非零解,则有无穷解;C. 若有无穷解,则仅有零解;D. 若有无穷解,则有非零解.解: D.若有无穷解,则,故有非零解.13.设为n阶实矩阵,是的转置矩阵,则
5、对于线性方程组(I): 和(II) ,必有 ( )A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解;B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解;C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解;D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解.解: A.设 则所以,(I)的解是(II)的解;反之,设 则为一个列向量,所以必有: .亦即: (II)的解是(I)的解.因此,选A.14.是非齐次线性方程组的两个不同解,是对应导出组的基础解系.为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: B.线性无关,并且是导出组的解,所以为导出组的一个基
6、础解系; 为的特解,故选(B).15.设为四元线性方程组的三个解向量,且, ,c为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: C.为的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且为导出组的一个非零解,故的通解为.16.齐次线性方程组=若存在三阶非零方阵满足,则( ) A.=-2,且|=0; B. =-2,且|0; C. =1,且|=0; D. =1,且|0.解: C.的三个列向量均为的解向量,即方程组有非零解,故|=-(=0,从而=1;当=1时,r()=1,故基础解系包含两个向量,矩阵的三个列向量必线性相关,所以|=0.17.若均为方程组的解,则为( ) A., B. , C.
7、, D. 解: A.解一:线性无关,故基础解系的秩2,从而r()=1,答案为(A);解二:令,一一验证可得(A)中矩阵满足,故选(A).18.已知为三阶非零阵,且则( ) A.的秩必为1; B. 的秩必为2; C. 的秩必为1; D. 的秩必为2. 解: C.若,则必有小于或等于方程组的基础解系所包含向量个数.从而 又因为为三阶非零阵, 所以若则此时必有即必有若则此时必有即必有或所以应选C.19.设则三直线其中交于一点的充分必要条件为( ) A. 线性相关; B. 线性无关; C. D. 线性相关; 线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明线性无关, 可由线性表示.故选(D);解二:方程
8、组存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D);解三:设交点为,则即可由唯一线性表示.故选(D).20.矩阵是满秩的,则( )直线 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵分块为为A的行向量, 线性无关.而又线性无关,二直线不平行.又由这说明三个向量共面.所以二直线相交.解二:记,则线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令令一个参数为,则得方程组如下方程组有唯一解的充要条件为线性无关,因此二向量与线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将视为向径,即为三个点,有r()=3知此三点不共线.因此决定
9、一平面.而二直线一是过与平行;一是过与平行,此二直线均在上且不平行,故相交.解五:取特殊情况,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组有解,则常数应满足关系式为 .解: 线性方程组有解系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,对增广矩阵施行初等行变换: 所以应有 .2.设及均为非齐次线性方程组的解向量,则 解: 将代入方程组得即从而即.3.若向量组线性无关,(1) 线性；() 线性解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有 ,线性无关,故(1)相关;类似可得(2)无关.4.向量组的秩为2,则= 解: =3.解一:用行列式为0. 得=3解二:用矩阵的初等变换得 =3.5.n阶矩阵各行元素和为0,
10、且r()=n-1,则方程组的通解为 解: k(1,1,1),k为任意常数.(1,1,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量,故通解为k(1,1,1),k为任意常数.6.设,则方程组的解为 .解: (1,0,0,0)T.|为范得蒙行列式,故|0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为 由观察可知 (1,0,0,0)T为方程组的解.7.设,为三阶非零矩阵,且,则 .解: 若,则的列向量为齐次线性方程组的解.为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组有非零解.从而有解得.三.计算题 1.设向量组线性无关, 讨论的线性关系.解:设,整理得:,由线性无关得,线性方程组对应的系数行列式为所以,(1)当s为奇数
11、时,D=20,方程组仅有零解, 线性无关; (2) 当s为偶数时,D=0,方程组有非零解, 线性相关.2.设为矩阵,为矩阵,为n阶单位阵(.已知,试判断的列向量组是否线性相关?为什么?解: 因为 另一方面, 显然成立,所以必有 从而的列向量组线性无关.3. 设向量组线性相关,向量组线性无关,问: (1) 能否用线性表示? (2) 能否用线性表示?解: (1) 由向量组线性无关可知线性无关,而线性相关,故必有可用线性表示.(2) 若能由线性表示,由(1)结果知应能由线性表示,这与线性无关矛盾.所以不能由线性表示.4.设是n 维实向量,且线性无关.已知是线性方程组的非零解向量,试判断向量组的线性关
12、系.解: 设有一组数使得 成立.因为是线性方程组的解,且,所以有: 即: 因此,在两侧同乘得,即:.但,故必有.从而由得 .线性无关,所以有: .因此, 向量组的线性无关.5.设有向量组,(1) 为何值时,向量组线性无关,并将用该向量组线性表示;(2) 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将按列构造矩阵如下故2时,向量组线性无关.若设,对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得 (2) =2时,向量组线性相关.因为即线性无关,所以为一极大无关组.6.设(1) 为何值时,不能由线性表示;(2) 为何值时,能由唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵施行初
13、等变换:(1) =-1,0时,r()=2r()=3, 不能由线性表示;(2) -1时, r()=r()=4, 能由唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为 7.设向量试问满足什么条件时,(1)可由线性表示,且表示唯一?(2) 不能由线性表示?(3) 可由线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数,使得,其对应的线性方程组为 该方程组的系数行列式为 (1)当时,方程组有唯一解, 可由线性表示,且表示唯一.(2)当时,对增广矩阵进行初等变换: 若则方程组无解, 不能由线性表示.(3)当且时, 方程组有无穷多解.可由线性表示,但表示不唯一.进一步求解得: 为任意常数).所以,有 从而也是该方程组的一个基础解系.
