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1、word题 目耗散系统的哈密顿原理与其应用 学生 闫俊杰 学号 1210014049 所在学院 物理与电信工程学院 专业班级 物理学1202 班 指导教师 王剑华 _ _ 完成地点 理工学院 2016 年 5 月 20 日耗散系统的哈密顿原理与其应用 闫俊杰理工学院物理与电信工程学院物理专业1202班级， 723000指导教师:王剑华摘要 哈密顿原理不仅是分析力学的根底,而且在量子物理中也有重要的应用。本文首先通过定义耗散函数，给出了有耗散系统的哈密顿原理。然后利用有耗散系统的哈密顿原理推导出了有耗散系统的拉格朗日方程。最后通过与受线性粘滞阻尼作用的力学系统类比，把有耗散系统的拉格朗日方程应用
2、到有耗散的电路系统，给出了基尔霍夫定律。关键词 耗散系统；耗散函数；哈密顿原理；广义耗散力；基尔霍夫定律.引言1。伴随经典力学从自由到非完整约束系统开展历程的是学术讨论甚至是争论,有些是对错之争,有些只是观点不同,问题的焦点主要是经典力学理论怎样从完整系统推广到非完整尤其是非线性非完整系统,这是经典力学后牛顿开展的主要标志，也是物理学近、现代开展的一块重要里程碑。 物理学家考察具体的物理问题，常常以最小作用量原理为出发点，通过变分运算而导出物质系统的运动方程以表示其运动规律。牛顿质点运动方程可通过这样的推导过程得出;甚至如广义相对论里的爱因斯坦场方程也可如此导出，其实，所有运动方程就是拉格朗日
3、方程或哈密顿正如此方程在其拉氏量或哈氏量对于不同物质系统取不同形式时的具体表现。亦是广义相对论的一个重大结论;而如前文已提与的，引力场方程的导出可采用引力场之作用量的变分运算。从光线路径和质点运动到四维弯曲时空中的短程线方程乃至引力场运动方式等等实例可见，无论是几何间题，还是物理问题，都可凭籍变分法去圆满地解决;特别是最小作用量原理与其在物理学各领域的成功应用，正就是利用变分法这一几何方法、亦乃经济原如此去解析各物质系统之运动规律的丰盈成果。例如牛顿力学描绘了天体运动的出色图景，拉格朗日一哈密顿理论描绘此图景也毫不逊色。当然，在经典力学畴里，这两个理论体系本来是等价的，只是着眼点有所不同:对于
4、行星运动，牛顿着眼于行星与恒星之间的万有引力;哈密顿等人着眼于行星运行时的能量守恒正因为后者着眼于能量状况，遂使哈密顿原理的适用性得以超出经典力学畴。耗散系统就是指一个不断地与外界交换能量的系统这样的新结构就是耗散结构2。拉格朗日方程是力学理论中的根本方程，它在力学系统中得到广泛的应用。它的表述形式不再是直观的矢量形式，而是抽象的数学分析，即分析力学。分析力学所注重的不是力和加速度，而是具有更广泛意义的能量，同时又扩大了坐标的概念。所以拉格朗日方程更适用于处理复杂力学系统的问题，而且可以更进一步，应用到物理学和技术科学的其他领域3。目前拉格朗日方程已经被应用到许多领域中，特别是电学中的应用。虽
5、然拉格朗日方程在力学系统中得到广泛的应用，对力学问题提供了新的、简洁的求解方法。但是在某些领域中还有它的不足，特别是在耗散系统中，一般的拉格朗日方程解决的都是理想约束的问题，即忽略阻力、摩擦、黏滞力形、变等，或者是把阻尼力当成主动力处理4。但是自然界多数物理过程都是有阻尼的物理过程，往往使问题不能很好的解决，或变得更复杂。如果把耗散函数引入拉格朗日方程中，这个不足就会迎刃而解，把阻尼力的问题用耗散函数来解决，解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。哈密顿原理它涉与了一系列根底问题。中国学者为推动这一学科的开展作出了重要的贡献5-9。牛青萍发表了重要论文经典力学根本微分原理与不完整力学组的运动方程。
6、这是我国第一篇非完整力学的研究论文,跃宇建立了一类新型的积分变分原理,该原理比拟完满地解决了变分原理的推广问题。保加利亚科学院院士.(Tzenoff)建立了一类新型的运动微分方程,具有简单统一且便于应用的优点。对于变质量力学系统,梅凤翔就Hamilton原理10,立群就非惯性系11,毅就相对运动12,方建会和元成就相对论力学的速度空间13,自二十世纪70年代以来,以DNA为背景的超细长弹性杆力学受到关注,用Kirchhoff理论进展力学建模。基于此,延柱、立群等将经典的分析力学理论移植到弹性杆静力学14，15,人类对于自然界的认识永无止境,任何一个学科的开展都在伴随着时代的步伐与时俱进。本文主
7、要研究了耗散函数，广义耗散力和准拉氏函数，耗散系统的哈密顿原理与其拉格朗日方程，有耗散系统中哈密顿原理的应用。1 耗散函数设质点不仅受有势力和非有势力作用,还受粘滞阻尼的作用,粘滞阻尼是作用在质点上的线性阻力。由于这种阻力使机械能耗散,所以他又被称为耗散力。下面,先定义阻尼力,再由阻尼力的虚功给出耗散函数。设作用在任一质点上的线性阻力为其中是质点的运动速度,阻力系数为常数。质点上的线性阻力任意虚位移中所作虚功的和为式中将它代回式(1.2)得1.4在有耗散存在的力学系统中,可以把耗散函数表示成广义速度的函数令称为耗散函数，有 (1.6)式中是常数或广义标的函数,称为广义阻力系数。式(1.6)明确
8、耗散函数是广义速度的二次齐次函数。2 广义耗散力和准拉氏函数约束系统动力学的根本问题16和变分原理目前的研究主要出现在以下几个方面:(1)对分析力学根本概念和根本问题在更高层面上的进一步探讨与扩大。这项研究,不但可以巩固分析力学的理论根基,并且可以澄清一些纷争。(2)对于新的力学系统,建立相应的力学变分原理。历史和现代的如变质量系统、单面约束系统、连续系统、Birkhoff系统、广义力学系统、广义非完整系统以与基于Kirchhoff动力学比拟的超细常弹性杆等。(3)用近代微分几何建立各种变分原理,如射丛几何的、辛几何的等。(4)变分原理的应用,如应用于数值计算等等。 在有耗散存在的系统中，广义
9、耗散力是一个非常重要的力学量。下面来进展计算，把1.6代入1.4可以得到2.1再令为对应于广义坐标的广义耗散力，如此2.2于是，有耗散存在的准拉氏函数为 2.3利用这个准拉氏函数,我们可以给出有耗散存在的哈密顿原理。3 耗散系统的哈密顿原理与其拉格朗日方程物理学中最根本的原理是哈密顿原理。著名量子物理学家狄拉克曾十分推重这条原理18。因为它具有物理学理论的同一性。物理学中的一些重要原理与它们的核心方程,都能从哈密顿原理出发、借拉格朗日分析力学的方法导出;哈密顿原理在分析力学中有着十分重要的地位19。它借助于变分原理对质点运动情况作出准确描述。这一原理不仅适用于有限自由度的点系,也可用于无限自由
10、度的点系20。它在相对论中,场论中被广泛采用。在有耗散存在的的系统中，可以考虑把哈密顿原理写成如下形式3.1 把2.3代入3.1可以得到3.2即3.3经过进一步推导，得3.4把2.1代入3.4，并考虑3.5可得 (3.7)哈密顿原理指出，对于质点系真实运动，即上式中积分为零。由于区间是任意的，故知被积函数为零。又因为彼此独立，所以的个系数应全为零，于是得到方程。即3.8这就是含耗散函数的拉格朗日方程。哈密顿原理处理简单运动没有什么优越性，但是用它来处理多自由度复杂问题却比拟方便。天体力学中摄动法就是应用哈密顿方程一个典型事例21。哈密顿正如此方程虽然是经典力学的方程，但是却能被推广应用到微观和
11、高速领域，在理论力学尤其是分析力学领域有着重要应用。4 有耗散系统中哈密顿原理的应用一维弹性振子在有阻尼力和谐迫力时的振动方程为 (4.1) 其中是振子的质量,是弹簧的弹性系数,是阻尼因数,为谐迫力。由电感L,电阻,电容C和电源E所组成的串联电路, 假如某时刻电容器上的电荷为q, 如此电路的电流 4.2电感上的电压降为4.3电阻上的电压降为4.4 电容上的电压降为，又设电源电动势为,由基尔霍夫定律得电路的微分方程为()比拟方程(3.1)和方程(3.2)可得如下的结论: 电荷与位移, 电感与质量, 电阻与阻尼因数，电容的倒数与弹簧的弹性系数，电动势与机械力。利用同样的方法, 可以找到很多相似的对
12、应关系。假如取电荷q 为广义坐标, 电流即为广义速度, 电动势为广义力, 系统的动能、势能和耗散函数分别为以此代入有耗散力的拉格朗日方程 , 即得: (4.6)对于复杂的RLC电路时，设有N条含源组成的复杂RLC电路，每条支路的电荷为，这样，只有个独立网孔，选取网孔的电荷为广义坐标，就所有面电路，其任一之路的电荷都可以用一网孔电流或两网孔电流的和差表示。各支路所含的电阻，电感，电容与电源电动势分别用表示，各网孔的电流、自电阻、自电感、自电容与自电源电动势分别用表示，各网孔的互电阻、互电感、互电容分别用表示，且设所用的网孔的参考电流方向均为顺时针方向。由以上比照结论可知，与LRC电路相对应的力学
13、系统的拉格朗日函数为22耗散函数为其它非保守广义力为如此拉格朗日方程为 可得j个拉格朗日方程， 把耗散函数引入拉格朗日方程中，把阻尼力的问题用耗散函数来解决，这样就得到的了有耗散函数的拉格朗日方程。使拉格朗日方程的使用围增加，解决有耗散系统的复杂问题时更加简单。耗散函数的拉格朗日方程可以更好的解决有阻尼力的耗散系统中，而且可以通过类比的方法更好的应用到电学中。虽然力学与电学是物理学中两个不同的课程,但是将分析力学中的广义坐标,广义力，动能，势能和耗散函数等概念引入到电学中,就可以用拉格朗日方程来解决RLC电路中的问题。从力与能的角度出发,在RLC电路体系中运用拉格朗日方程,得到了电学中用基尔霍
14、夫定律和欧姆定律分析RLC电路过程相一致的结果。这是分析不同研究对象之间共同规律的思维方法。更重要的是，两种不同的物理系统可用一样形式的拉格朗日函来描述，这种结构上的类似意味着研究其中一种系统的方法和结论也适用于另一种系统。这就远远扩大了拉格朗日方程的应用围，为拉格朗日方程应用到其它更多的领域做好了铺垫。5 结论分析力学有微分、积分两种型式。拉氏方程和哈氏正如此方程等属微分型至于积分型式，乃从对最小作用量原理的探讨起始。 变分法的发明使分析力学的建立和扩展有了简便的数学工具。假如一个系统在其物理过程中，系统能量随时间损耗，那么该系统就称耗散系统.由于耗散系统更接近实际，所以一直是物理学的一个研究课题;特别是近年来，这方面的研究(经典和量子两个方面)日趋活跃，并显示出了广阔的前景行了修正，比拟成功地解决了一些耗散系统的问题.长期以来，人们对对电力系统的暂态稳定性进展了大量的研究。由于电力系统是电力系统是一个能量产生、传输和消耗的复杂系统，而广义哈密顿理论其以能量理论为根底，鲜明其能量平衡在整个系统的安全运行中起至关重要的作用，将能量函数作为函数进展控制设计是很自然的。广义哈密顿控制系统不但为电力系统提供了适宜的数学描述同
