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1、积分变换1整理课件傅里叶(Fourier)级数展开2整理课件在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t3整理课件最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt4整理课件人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼
2、近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近5整理课件研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间-T/2,T/2上1,连续或只有有限个第一类间断点2,只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.6整理课件第一类间断点和第二类间断点的区别:第二类间断点第一类间断点7整理课件不满足狄氏条件的例:而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函数来近似一
3、些函数,使得思维简单一些.0)1sin()(tg)(点处存在着无限多个极值在靠近存在第二类间断点ttfttf=8整理课件在区间在区间-T T/2,/2,T T/2/2上满足狄氏条件的函数的全体也构成上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合一个集合,这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间构成一个线性空间VV,此空间的向量就是函数此空间的向量就是函数,线性空间线性空间的一切理论在此空间上仍然成立的一切理论在此空间上仍然成立.更进一步地也可以在更进一步地也可以在此线性空间此线性空间VV上定义内积运算上定义内积运算,这样就可以建立元素这样就可以建立
4、元素(即即函数函数)的长度的长度(范数范数),),及函数间角度及函数间角度,及正交的概念及正交的概念.两个两个函数函数f f和和g g的内积定义为的内积定义为:9整理课件一个函数f(t)的长度为10整理课件而在区间-T/2,T/2上的三角函数系1,coswt,sinwt,cos 2wt,sin 2wt,.,cos nwt,sin nwt,.是两两正交的,其中w=2p/T,这是因为cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线性组合.当nm时,11整理课件这是因为12整理课件由此不难验证13整理课件而1,coswt,sinwt,.,cos nwt,sin nwt,.的函数的长
5、度计算如下:14整理课件因此,任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),可表示为三角级数的形式如下:15整理课件为求为求a an n,计算计算 f fT T(t t),cos),cosn nw wt t,即即16整理课件同理,为求bn,计算fT(t),sin nwt,即17整理课件最后可得:18整理课件而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:19整理课件如令wn=nw (n=0,1,2,.)20整理课件给定fT(t),cn的计算如下:21整理课件22整理课件例 定义方波函数为如下图:1-1otf(t)123整理课件现以f(t)为根底构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,那么1-13T=4f
6、4(t)t24整理课件那么25整理课件sinc函数介绍26整理课件sinc函数的图形:sinc(x)x27整理课件前面计算出w28整理课件现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为根底构造一周期为8的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t29整理课件那么30整理课件那么在T=8时,w31整理课件如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w32整理课件一般地,对于周期T33整理课件当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓那么总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,那么它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构
7、成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布,称作f(t)的傅里叶变换.34整理课件 对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在-T/2,T/2之内等于f(t),在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上,那么T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有35整理课件Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)36整理课件37整理课件如图如图O w1 w2 w3 wn-1wnw38整理课件39整理课件此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,40整理课件傅氏积分定理 假设f(t)在(-,+)上满足条件:1,f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;2,f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积,那么有41整理课件(1.4)式也可以转化为三角形式42整理课件又考虑到积分43整理课件作业 习题一 第第10页页第第1,2题题44整理课件此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
