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1、10.3格林公式及其应用习题10.31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1)其中为由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线;解:(2)其中为由四个顶点分别为和的正方形区域的正向边界;解:2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线(2)椭圆(3)圆(4)椭圆(5)双纽线3.计算曲线积分其中为圆周的方向为逆时针方向。解:,所以取则有4.计算下列曲线积分:(1)其中为摆线上对应从到的一段弧。解:设直线段,则(2)其中为上半圆周沿逆时针方向。解:设直线段,则5.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值:(1)解:易得,所以曲线积分在整个面内与路径无关,(2)解:易得
2、,所以曲线积分在整个面内与路径无关,(3)解:易得,所以曲线积分在整个面内与路径无关,6.利用格林公式,计算下列曲线积分:(1)其中为三顶点分别为和的三角形正向边界;解:(2)其中为正向星形线解:(3)其中为在抛物线上由点到的一段弧;解:记(4)其中为在圆周上由点到点的一段弧;解:记(5)其中为椭圆解:(6)其中为圆周解:(7)其中为的边界,其中解:(8)其中为区域与的边界;解:(9)其中为区域与的边界;解:(10)其中为由点经至的上半圆周解:令,则7.设一变力为这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时,场力所做的功与路径无关。证明:易得所以结论成立。8.计算曲线积分其中,为任意的逐段光滑的曲线。解:易得,所以9.设是以逐段光滑曲线为边界的平面有界闭区域,在上有连续的偏导数,则有关系式其中为曲线的外法向量的方向余弦。此公式是格林公式的另一种形式。证明:设正方向切向量为,则,于是10.曲线积分是否与路径无关?若与路径无关,求其原函数。并计算由点到的曲线上的积分。解:易得所以积分与路径无关。11.设为封闭曲线,为任一固定的方向,则有其中为的外法线单位法向量。证明:设,则12.计算曲线积分其中为封闭曲线,为它的外法线方向。解:为曲线包围的面积。