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1、知识梳理1 .因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积1 11例：一 ax bx x(a b)333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2 .因式分解的方法：(1)提公因式法： 定义：如果多项式的各项有 公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数字母一一取各项都含有的字母指数一 取相同字母的最低次幕例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b
2、2c2 的公因式是 .解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c, a3b2c3,a4b2c2者B含有因式a3b2c,故多项式的公因式是 2 a3b2c.提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1把12a2b 18ab 2 24a3b3分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6 ，相同字母的最低次幕是ab ，故公因式为
3、 6ab 。解： 12a2b 18ab 224a3b36ab(2a 3b 4a 2b2)例 2 ：把多项式3(x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于4 x (x 4) ，多项式 3(x 4) x(4 x) 可以变形为 3(x 4) x(x 4) ,我 们可以发现多项式各项都含有公因式 ( x 4) ,所以我们可以提取公因式 ( x 4)后, 再将多项式写成积的形式.解： 3( x 4) x(4 x)= 3(x 4) x( x 4)= (3 x)(x 4)例 3 ：把多项式x2 2x 分解因式22解：x2 2x= (x22x) x(x 2)(2) 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以
4、用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。a. 逆用平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)b. 逆用完全平方公式：a2 2ab b 2 (a b)2c.逆用立方和公式：a3b3(a b)(a2abb2)(拓展)d.逆用立方差公式：a3b3(a b)(a2abb2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 若多项式是二项式可考虑平方差公式； 若 多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1 ：因式分解a2 14a 49解：a214a 49=(a 7)2例2：因式分解a2 2a(b c) (b c) 2解：a2
5、2a(b c) (b c) 2 = (a b c)2(3) 分组分解法(拓展) 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式ab a b 1分解因式解：ab a b 1 = (ab a) (b 1) = a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1)将多项式分组后能运用公式进行因式分解？例：将多项式a2 2ab 1 b 2因式分解解：a2 2ab 1 b 2=(a2 2ab b2) 1 (a b)2(4)十字相乘法(形如x (P q)x 此种方法)方法：常数项拆成两个因数x2 (p q)x pqIl XDllx2 1 (a b 1)(a b 1)pq (x p)(x q)形式的多项式，可
6、以考虑运用p和q,这两数的和 p q为一次项系数(p q)x pq (xp)(x q)例：分解因式x2 x 30分解因式x252x 100补充点详解补充点详解我们可以将-30分解成px q的形式,我们可以将100分解成px q的形式,使 p+q=-1, p x q=-30,我们就有 p=-6,使 p+q=52, p x q=100，我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5 。q=50或 q=2,p=50 。所以将多项式x (p q)x pq可以分以分解为(x p)(x q)所以将多项式x2(P q)x pq可解为(x p)(x q)x2 X 30 (x 6)(x 5)3.因式分解的一般步
7、骤：x252x100 (x 50)( x 2)如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为 ：套”、“三分组”、“一提”、“二“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。例题解析提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法：系数取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式
8、因式)一一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幕【例1】分解因式2n 1 15a a b2n10ab b a ( n为正整数)2n 1 mn _.4a b6a 2bm 1 ( m、n为大于1的自然数)【巩固】分解因式：(x y)2n 1 (x z)(x y) 2n 2(y x)2n(y z),n为正整数.【例2】先化简冉求值，y x y x y2x y x,苴中一舟-八十x【巩固】求代数式的值：(3x 2)2(2x 1)(3x2)(2 x1)2 x(2x 1)(2 3x)，其中 x -【例3】已知：b c a2+/2 次一 a(a b3c) b(-c 32 a -b)331c(2b 2c
9、 2 a)的值.3【巩固】分解因式：x3(xyz)(y z a)2 x z(z xy)x2y(zx y)(x z a).公式法平方差公式：a2 b2 (a b)(a b) 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以化成某个数或式的平方形式； 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积完全平方公式：a2 2abb2(a b)2a2 2abb2(a b)2 左边相当于一个二次三项式； 左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； 左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； 右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定一些需要了解的公式:a3b3(ab)(a2ab b2)a3b3(ab)(a2ab b2)3322.33322.3(ab)a3a b3ab b(ab)a3a b3ab b
