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1、线段之和最短问题一 常见数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3. 如图，直线l1和l2的异侧两点A、B，分别在直线l1、l2上求作一点P、Q两点，使AP+PQ+QB最小。4. 如图，直线l1的同侧两点A、B，分别在直线l1上求作一点P、Q两点，且PQ=a，使AP+PQ+QB最小。5.如图，点P是MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B使PAB的周长最小。6.如图，点P，Q为MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。为方便归类，将这
2、种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A是MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”练习题1在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_时，AC + BC的值最小2如图，护城河在CC处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD，EE，设护城河是东西南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD，EE的位置，使由A地经过两座桥梁
3、后到B地的路程最短？最短路程是多少？3如图AOB = 45，P是AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值4如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。5如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示ACCE的长；(2)请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值6桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长1
4、8厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路x同侧，、到直线x的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，到直线y的距离为，请你在x旁和y旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值8如图，在锐角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB
5、上的动点，则BM+MN的最小值是_9如图，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 10如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.参考答案1在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =_时，AC + BC的值最小点C（1，n），说明点C在直线
6、x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A，连接AB，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小设直线AB的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当x = 1时，y = -(2/5)故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小2如图，护城河在CC处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD，EE，设护城河是东西南北方向的，A，B在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁DD，EE的位置，使由A地经过两座桥梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如图，作BBa，A
7、A b，且BB = 4，AA = 4，连接AB，交河岸于点E，D，分别过点E、D架设桥梁DD，EE，则ADDEEB是最短路线。因为四边形ADDA、四边形BEEB都是平行四边形，所以BE = BE，AD = AD，因为A，B之间线段最短，所以ADDEEB是最短路线，又BF = 64，AF = 84，所以BF = 60，AF = 80，在直角三角形ABF中，由勾股定理得，AB = 100，最短路线为108米3如图AOB = 45，P是AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求PQR周长的最小值分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于点Q，R，连
8、接OP1，OP2，则OP = OP1 = OP2 = 10 且P1OP2 = 90由勾股定理得P1P2 = 104如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则线段DC的长就是EC+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC=5如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示ACCE的长；(2)请问点C满足什么条件
9、时，ACCE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值(1)AC = ，CE = 则AC+CE = + (2)A、C、E三点共线时AC+CE最小连接AE，交BD于点C，则AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角AEF中,AF = 5 EF = 12 根据勾股定理 AE = 13（3）求代数式（0x4）的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4则AE = 5所以，这个代数式的最小值是56桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离
10、杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点A。则BA=15厘米7著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客如果拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四边形的周长最小并求出这个最小值分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A，B，连接AB，交x轴、
11、y轴于点P、Q，则四边形PABQ的周长最小构造如图在RtABC中，BC = 30+30+40 = 100， AC = 10 +40 =50所以AB = =508如图，在锐角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_作点B关于AD的对称点B，过点B作BEAB于点E，交AD于点F，则线段BE的长就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根据勾股定理得到，BE = 49如图，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 作AB关于AC的对称线段AB，过点B作BNAB，垂足为N
12、，交AC于点M，则BN = MB+MN = MB+MNBN的长就是MB+MN的最小值则BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。所以AN = 1在直角ABN中，根据勾股定理BN = 10如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.(2)连接AC，交BD于点M，则AM+CM的值最小连接CE交BD于点M，则AM+BM+CM的值最小AM=EN，BM=NM， AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短(3)过点E作CB的延长线的垂线，垂足为F设正方形ABCD的边长为2x则在直角BEF中，EBF=30，所以，EF=x，根据勾股定理：BF= 在直角CEF中，根据勾股定理： CE2 = EF2 + FC2得方程： 解得：x = 所以：2x =
