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1、数学开放性问题教学功能浅析福建省永春华侨中学谢雅礼陈玉伟摘要：条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的数学开放性问题，对学生具有挑战性和探究性，是最富有教育价值的一种数学问题的题型。她在数学教学中，具有激活认知内驱力，促进学生自主学习；提高认知水平，培养探究习惯和思维品质；体验探究数学问题的思想方法，促进学生良好认知结构的形成；利于因材施教，使每个学生都得到发展；提供更多交流与合作的机会，提高教学活动效率；利于培养学生的创新思维，提高创新素质；利于开展研究性学习，培养学生探究能力，增强学生数学应用意识；为学生创设“问题”情景，教给学生提出问题的方法，促进学生发现并提出新的数学问题；能有效提高
2、学生学习数学的兴趣和自信，促进智力因素与非智力因素的协同发展等教学功能。对推动数学教学改革、提高教师教育教学水平具有重要的作用。关键词：数学开放题；教学功能数学开放题是70年代开始出现的一种新题型，其社会背景是新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出有更高数学素养、具有更强的创造能力的人，她被人们认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型。教育部中考改革指导意见明确指出：“理科在试卷中适当增加开放性试题，培养学生的创新能力，初步体现素质教育的要求。”因此，在中考中引入开放性试题，对数学科教学提出了一个新的课题。数学开放性问题指条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的题目，它一般需要学生通过观察
3、、试验、估计、猜测、类比和归纳等才能解决，对学生具有挑战性和探究性。笔者经过十多年的教学实践深刻认识到：把数学开放性问题引入教学中，是提高课堂教学质量的重要而有效的途径，对全面提高学生的数学素养具有重要的作用。一、激活认知内驱力，促进学生自主学习国际数学教育委员会指出：“培养学生对数学的积极态度是中小学数学的一个共同目的，帮助学生体验这种智力的欢乐是达到目的的一种手段，然而实际上任何学校这种欢乐都是有限的。也许在数学课堂更多地进行没有固定答案的研讨的趋势，将会使更多的学生首次体验到科学女皇赋予该学科的美感。”认知内驱力是学习动机的重要组成部分，它直接指向学习活动本身，是一种了解和理解的需要要求
4、掌握知识的需要、系统地阐述问题并解决问题的需要。它派生于探求、操作、领会及应付等心理素质，但在学习活动中受到激活、增强和系统培养。在数学学习中，认知内驱力是头等重要的内部动机，且随学生年龄增大而表现得越发明显。初中生常把自己当作是或希望自己是一个探究者和发现者，有较强的好奇心，而好奇心是对不确定性或模棱两可情况的一种反映，具有适度不确定性的开放性问题是激起学生探究活动的最好素材，它能满足学生成为探究者、发现者的愿望。例1 如图，1=2，为了使ABCABD，必须补充一个条件，请补上这个条件。学生的答案多种多样，但有的成立，有的不成立。那么，在众多的答案(涉及边，角，周长，面积，相似，对称，外接圆
5、、内切圆半径)中哪些是成立的？哪些是不成立的？这道似乎简单而又富有研究价值的开放性问题能有效激发学生的探究欲望。我们把它作为一个探究性问题进行教学，效果非常显著。二、提高认知水平，培养探究习惯和思维品质认知心理学告诉我们，有意义学习的深入，依赖于学生对认知对象理解的加深，认知程度的提高，而学生学习的重要目的之一乃是本身理解能力与认知水平的提高。恰当的开放性问题是实现这一目标的有效途径。例2 在学习三角形全等的判定定理时，提出如下两个问题：问题一：有两边和一角对应相等的两个三角形全等吗？(若这个角是两边的夹角，则这两个三角形全等；若这个角是其中一边的对角：当这个角是直角时，这两个三角形全等；当这
6、个角是顿角时，这两个三角形全等；当这个角是锐角时，这两个三角形不全等。)问题二：有五个元素(边、角)分别相等的两个三角形全等吗？(绝大多数的学生认为一定全等，当他们知道“五个元素”是“分别相等”而不是“对应相等”时，大多数的学生仍然认为一定全等，究其原因是：两个三角形共六个元素，一般只要三个元素对应相等，两个三角形就全等，而现在有五个元素分别相等，即使“不对应”也会全等，直至经过一番探索，举出反例时，才恍然大悟！)。对于这两个问题，学生十分积极发表自己的见解，但表现出不同的认知水平，在教师的启导下，经过辩论、探讨，学生从模糊到清晰，明显提高了对问题理解的深度及认知水平。三、体验探究数学问题的思
7、想方法，促进良好认知结构的形成认知心理学的核心论点是：学习是认知结构的组织和再组织。学生有效学习的最终结果必然是在自己的头脑里构建有成效的认知结构，这个结构具有稳定性、清晰性和可利用性。研究表明，大量的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能导致这三种特征的获得，而功能性较强的思想方法、具有发现意义的思维活动过程和富有条理性的认知策略的开放性问题则对这三种特征的获得具有积极的意义。例3 顺次连结ABC各边中点得到DEF，你可发现哪些结论？(DEFADEDBFEFC，DEFABC，DEF的周长是ABC的一半，SDEF=1/2SABC)。若把三角形改为四边形，即顺次连结四边形A
8、BCD各边中点得到四边形MNPQ，你可发现哪些结论？(MNPQ为平行四边形，MP与NQ互相平分，SABCD=2SMNPQ)。若ABCD是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，则MNPQ是什么四边形？为了使MNPQ是矩形、菱形、正方形，则ABCD必须满足什么条件？对这两个问题学生需要经过观察、试验(特殊验证)、估计、猜测、类比和归纳等才能发现结论。这种亲身体验“发现”的过程，是一种研究策略的缩影，符合学生的认识规律，有利于学生体会数学知识之间的有机联系，形成良好的认知结构。数学开放性问题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生的数学意识，发展学生的数感，真正学会“数学地思维”
9、；数学开放性问题的教学过程，也是学生探索和创造的过程，有利于培养学生的探索开拓精神和创造能力。四、利于因材施教，使每个学生都得到发展每一种教育理论对教学活动都提出了“量力性原则”根据学生现有水平从事教学，即根据每个学生的现有基础水平提出教学要求，在每个学生思维的“现有发展区”进行教学。可是，学生的个体差异是客观存在的，每个学生都有其独特的个性和特长，一个教学班的学生基础水平往往参差不齐，有的相差甚远。因此，对一个正常班级而言，要实施“量力性原则”，其难度是很大的。但是，某些开放性问题却可以显示出意想不到的教学功能。由于条件开放、结论开放、解法开放，没有硬性规定和统一要求，学生大可根据自己的实际
10、情况、放开手脚进行作答，给各类学生提供了获得成功的机会。例4 如何判断一个四边形是否为矩形？指出你所采用的工具和根据。解决这个问题的方法有：用三角板或量角器判断四边形的三个角是否为直角？用圆规比较两组对边和两条对角线的长度是否相等？用刻度尺比较两条对角线是否互相平分？，基础差者可找出一、二种方法，优等生可找出五、六种方法。教学时，可先让“中下生”作答，再由“中等生”补充，最后让“优等生”来完成。这样，全体学生各尽所能，都能得到应有的发展。五、提供更多交流与合作的机会，提高教学活动效率教学过程是一个师生之间、生生之间多边交流活动的过程。若没有师生之间、生生之间的相互合作，教学过程就只能流于形式，
11、教学任务就无法真正得到落实。可以说，合作学习是教学过程本身的客观要求，它对学生良好性格的形成、集体观念的建立、合作意识的培养等都有重要的意义。数学开放性问题往往需要学生共同合作、相互交流才能获得圆满解决。例5 以小组为单位探索研究如何测算操场旗杆的高度。这个问题，没有限定测量的方法和使用的工具，各小组必须共同出谋献策，自己设计方案。俗语说：“三个臭皮匠，胜过一个诸葛亮”，各小组学生经过探讨，想出了多种测算方法(利用解直角三角形，利用影长，利用平行线比例线段等)。在解决过程中，教师与学生，学生与学生共同探究，一起争辩，互相启发和鼓舞，教学活动效率很高。六、有利于培养学生的创新思维，提高学生创新素
12、质创新型人才的培养在数学教学中表现为培养学生对数学科学知识、方法的重新发现，这种能力的培养要借助于学生在学习数学中的归纳、类比、联想、猜想、构造等能力的提高。在数学教学中设置开放性问题正是培养学生这方面的能力。由于这类问题的题设和结论部分仅指出一个探索方向，需要在解题时更多地独立思考和探索，无疑对培养学生良好的创新思维品质(独立性、变通性、发散性、重组性、迁移性、流畅性、多向性、质疑性等)大有补益。例6 如图，半径为r、R的O1与O2外切于P，过P作直线交O1、O2于A、B。问：你可发现什么结论？(PA：PB=r：R)；再过P作直线交O1、O2于C、D，又发现什么结论？(PA：PB=PC：PD
13、=r：R，PABPCD，ABCD)；若把外切改为内切、相交，结论将怎样变化？这些相关联的一个个问题，对学生具有强烈刺激、启发学生进行多种思考、诱导学生创新意识的因素，能产生解题的紧迫感，具有连续进行探讨的特点，通过解题的过程及结果可发现问题的一般性、规律性，使解决的结果具有吸引学生的魅力，使学生尝到解题后的喜悦。七、有利于开展研究性学习，培养学生探究能力，增强学生数学应用意识探究即“追根究底”，以问题为主线，让学生通过究底的学习养成独立思考问题的好习惯，利于加强主体精神、探究态度、科学方法、创造才能的培养。特别是通过学习活动，给学生提供个性发展机会，鼓励学生提出不同见解，尊重学生任何奇思妙想，
14、给学生提供自由的探究空间，为能力培养提供学习环境。例7 生活中到处都有圆形的物体，如何测量它们的半径呢？请你设计出几种测算方案，指出所用的工具、优缺点和适用的范围。这是一道较强的开放性问题，情景自然真实，学生解决这个问题的过程是一个研究的过程，不但需要联想到与圆有关的知识(圆的周长公式、直径的性质与判定、垂径定理及其推论、切线的性质与判定、三角函数、勾股定理等)，还需要动手操作、构造图形、进行数学实验的活动过程，不仅需要传统意义上的数学推理能力，而且更需要有分析和解决问题策略层面的素养，有利于对学生进行过程性评价。在数学教学中开展研究性学习是一个难点。例7不仅提供了一个设计开放性题目的案例，同
15、时也提供了平时教学设计这类问题的方法。本题与传统考查学生应用数学知识解决实际问题的题目相比，它倡导一种新的数学教学理念数学教学要引导、促进和发展学生“数学地”看世界、看生活。八、为学生创设“问题”情景，教给学生提出问题的方法，促进学生发现提出新的数学问题“发明千千万，起点是一问”。数学的发展过程是一个不断提出问题，解决问题的过程。从培养学生创新能力的角度看，提出问题比解决问题更重要。目前的中学数学教学中大多数老师重视向学生提问，但普遍忽视启发学生自己去发现问题、提出问题，在日常的数学学习中，学生没有想到去提问题，也不知道怎样去提问题。而条件和结论不完备或不确定、解题策略多样化的数学开放性问题具有很强的疑问性，能诱导学生猜测各种不同的条件、结论、思路，促使学生提出各种不同的问题。例8 P为等腰ABC底边BC上一动点，当P在线段BC上运动时，P到两腰的距离之和怎样变化？当P在BC延长线上运动时，结论还成立吗？当P在等腰ABC所在平面上运动时，结论成立吗？若把等腰三角形改为等边三角形，P在等边三角形边上、内部、外部运动时，又发现什么结论？这些问题，具有诱发学生问题意识的因素，可促使学生提出更多的问题能否把上述结论推广到任意三角形、平行四边形、
