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1、高中数学平面向量的线性运算教学设计教材分析本节一方面从数及数的运算谈起,有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充足呈现。类比数的运算，向量也可以进行运算，运算引入后,向量的工具作用才干得到充足发挥。教学中应引导学生体会考察一种量的运算问题，最重要的是认清运算的定义及其运算律，这样才干对的、以便地实行运算。平面向量的线性运算涉及：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。其中加法运算是最基本、最重要的运算,减法、数乘运算都以加法运算为基本，都可以归结为加法运算。向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的,使加法运算的学习建立在学
2、生已有认知基本上。由于向量有方向,在进行运算时，不仅要考虑大小，并且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。类比数的减法(减去一种数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是:减去一种向量,等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相似向量的连加。因此,与数的运算的类比,是学习向量的线性运算的重要措施。向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义,使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥较好的作用。2. 向量加法运算及其几何意义一、教学分析向量的加法是学生在结识向量概念之后一方面要掌握的运算，是向量的第二节内容.其重要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得
3、出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的互换律、结合律进行证明,同步运用她们进行有关计算,这可让同窗们进一步加强对向量几何意义的理解，同步也为接下来学习向量的减法奠定基本，起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表达,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中，已经懂得位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成,并且懂得这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于波及到两个向量有不
4、平行和平行这两种状况,因此有助于渗入分类讨论的数学思想,而在猜想向量加法的运算律时,通过引导学生运用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算，向量也可以进行运算.运算引入后,向量的工具作用才干得到充足发挥.事实上，引入一种新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题教师应引导学生体会考察一种量的运算问题,最重要的是认清运算的定义及其运算律,这样才干对的、以便地实行运算.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基本上，同步还可以提示学生注意,由于向量有方向，因
5、此在进行向量运算时，不仅要考虑大小问题,并且要考虑方向问题，从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有助于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目的:、知识与技能：掌握向量的加法运算,并理解其几何意义;会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合解决问题的能力。2、过程与措施:通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的互换律和结合律,并会用它们进行向量计算，渗入类比的数学措施。3、情感态度与价值观:通过论述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质，使学生理解事物之间互相联系的辩证思想。三、重点难点教学重点：向量加法的运算及其几何意义
6、.教学难点:对向量加法法则定义的理解.四、学法指引数能进行运算,向量与否也能进行运算呢?数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法,让学生顺理成章接受向量的加法定义。结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的互换律和结合律。五、教学设想（一)导入新课思路1(复习导入）上一节,我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表达措施，理解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.此外,向量和我们熟悉的数同样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量
7、的加法思路2(问题导入)大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海，这两次位移之和是什么?如何列出数学式子?一位同窗按如下的命令进行活动:向北走20米，再向西走米，再向东走5米,最后向南走0米，如何计算她所在的位置？由此导入新课.(二）推动新课、新知探究、提出问题数能进行运算,向量与否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应如何定义向量的加法？猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?图1活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回忆物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移、的成果,与点直接到C点的位移成果相似力
8、也可以合成,教师引导,让学生共同探究如下的问题:图2(1)表达橡皮条在两个力的作用下，沿着C的方向伸长了EO；图2(2)表达撤去F1和2，用一种力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相似的方向伸长相似的长度.图变化力F1与F的大小和方向,反复以上的实验,你能发现F与F1、2之间的关系吗?力F对橡皮条产生的效果与力1与F2共同作用产生的效果相似,物理学中把力F叫做F1与的合力合力与力F1、F2有如何的关系呢？由图2（3)发现,力F在以F、F为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以觉得是F与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法.讨论成果:
9、向量加法的定义:如图3,已知非零向量、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和，记作+，即ab=+=.图3求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的法则：1向量加法的三角形法则在定义中所给出的求向量和的措施就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一种向量的终点为起点,则由第一种向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型向量加法的平行四边形法则图4如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的措施叫做向量
10、加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题对于零向量与任历来量的加法,成果又是如何的呢？两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表达两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系?思考|a+b|,|，b|存在着如何的关系?数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地，向量的加法与否也有运算律呢?活动:观测实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊状况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足互换律与结合律,即对任意a,b,有a+=+,(a+b）+=a+(b+c).任意向量a,b的加法与否也满足互换律和结合律?引导
11、学生画图进行摸索.讨论成果:对于零向量与任历来量，我们规定a+=0+=a.两个数相加其成果是一种数,相应于数轴上的一种点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一种向量,相应于数轴上的一条有向线段.当a,b不共线时,|+|a+b|(即三角形两边之和不小于第三边）;当a,共线且方向相似时，|a+|=|a+|;当a,b共线且方向相反时,a+|=|a|b|(或|b|-|a|).其中当向量的长度不小于向量的长度时,|+|=|a|-|；当向量的长度不不小于向量的长度时,|a+b|=|b|-|a.一般地,我们有|+|a|+|b|.如图5，作=a,=b,以AB、为邻边作BCD,则=,=.由于=+=a,+=b+
12、a,因此abb+a如图6,由于=+=()+=(a)+c，=+(+）=a+(+c),因此（ab)+=a+(b+c)综上所述,向量的加法满足互换律和结合律图5图6(三)应用示例思路1例1 如图7,已知向量a、,求作向量a+.活动：教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的根据它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则规定首尾相连.图7图 图9解:作法一:在平面内任取一点(如图)，作=,=，则=a+.作法二:在平
13、面内任取一点O（如图9),作=a,=b.以A、OB为邻边作A,连接O，则=a+.变式训练化简：(1)+;(2)+;(）+.活动:根据向量加法的互换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调节运算顺序,然后相加.解：(1)+=+=(2）+=+（+)=+=0（3)+FA+=+=+=+=0.点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运送.如图1所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 m/的速度向垂直于对岸的方向行驶，同步江水的速度为向东2 kh(1)试用向量表达江水速度、船速以及船实际航行的速度(保存两个有效数字)；(2)求船实际航行
14、的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表达,精确到度）.图图11活动:本例结合一种实际问题阐明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有波及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生对的理解题意,将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系解:如图1所示，表达船速，表达水速,以AD、AB为邻边作BCD,则表达船实际航行的速度.(2)在RBC中，|=2,|=5,因此|=4.由于anCAB=,由计算器得CA=7.答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为7
15、0点评:用向量法解决物理问题的环节为:先用向量表达物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题，解决问题变式训练用向量措施证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.图1活动:本题是一道平面几何题，如果用纯几何的措施去思考，问题不难解决，如果用向量法来解,不仅思路清晰，并且运算简朴.将互相平分运用向量体现,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立教师引导学生探究如何用向量法解决几何问题，并在解完后总结思路措施.证明:如图2，设四边形ABD的对角线AC、B相交于点O,=+,=+.AC与B互相平分,=,=,因此且|=,即四边形ABCD是平行四边形点评:证明一种四边形是平行四边形时,只需证明=或=即可而要证明一种四边形是梯形,需证明与共线,且|.思路2例如图1,O为正六边形ABCDE的中心,作出下列向量:
