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1、2.1 数列的概念与简单表示法教学目的：1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中;2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象;4.理解通项公式与递推公式的异同;5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从
2、而提高学生学习数学的兴趣.教学重点：1.理解数列及其有关概念;2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项;3.了解数列和函数之间的关系.教学难点：1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式;2.理解递推公式和通项公式的关系;3.数列的递推公式及其应用的处理技巧.教学过程：一、引入新课：创设情景引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是,你看出这几个数字的特点
3、了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列.引例1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数2.某班学生的学号由小到大排成一列数3.1984年至2020年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数 像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点?共同特点: (1)每一项都是一个数; (2)这些数在排列上按一定顺序来.二、讲解新课：1.数列的概念 按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,排在
4、第位的数称为这个数列的第项. 注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.2.数列的记法 数列的一般形式可以写成:,可简记为.其中是数列的第项.3.数列的通项公式 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如,它的通项公式可以是,也可以是. (2)通项公式的作用:求数列中的任意一项;检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.4.数列的本质 从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集(或它的子集)的函
5、数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.5.数列的分类 (1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 各项相等的数列叫做常数列;
6、 一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.6.递推公式 已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式. 注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.三、讲解范例：例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数: (1); (2). (3) (4)解: (1) (2)(3) (4)类型题: 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)答案: (1) (2) (3)
7、(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)点评: 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题: 用和来调整符号;各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;借助一些特殊的数列:有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.例2 根据下面数列的通项公式,写出前项. (1) (2) (3)解: 略例3 在数列中,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列的通项公式,并求; (2)若,求数列的通项公式.解: 略例4 已知数列的通项公式
8、为. (1)试问是否是数列中的项? (2)求数列的最大项; (3)若,求.解: 略例5 已知数列 (1)写出这个数列的一个通项公式; (2)根据判断数列的增减性和有界性.解: (1) (2)因为 所以数列是递增数列 又因为 所以数列是有界数列.例6 已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.解: 略例7 (1)已知数列的首项,且,试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式. (2)在数列中,(),试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.解: 略例8 设数列是以为首项的正数列,且,求数列的通项公式.解: 略类型题1: 已知数列满足,写出前项,并猜想.类型题2: 已知数列满足,写出前项,并猜想.类型题3
9、: 已知数列满足,写出前项,并猜想.例9 已知数列的递推公式是,且.求: (1); (2)是这个数列中的第几项? 例10 若记数列的前项和为,试证明.证明: 略变式题1: 已知数列的前项和为,求.变式题2: 已知数列的前项和为,求.变式题3: 已知数列的前项和为,求.例11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例2)解: 略例12 如图是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成,其中,记的长度所在的数列
10、为()(1)写出数列的前项;(2)写出数列的一个递推关系式;(3)求的通项公式;(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么的长度分别为多少?解: 略补充练习:1.下列说法正确的是( C )A. 数列可以表示为B. 数列与数列是相同的数列C. 数列的第项为D. 数列可记为2.设数列的通项公式是( B ) A. B. C. D.3.已知数列中,则等于( A ) A. B. C. D. 4.已知数列的首项且,则等于( D ) A. B. C. D. 5.已知数列满足,则数列是( A ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列6.已知数列满足,若,则等于( D ) A. B. C. D. 7.数列的一个通项公式是_.()8.数列满足,则是这个数列的第_项.()9.数列的前项的积为,则这个数列的第项与第项的和是_.()10.已知数列的前项和为,且,则_.()11.数列满足,写出数列的前项. (前项依次为)12.已知数列的通项公式为,且,求和.()13.已知数列满足,求. ()14.(1)已知数列的前项和,求.() (2)已知数列的前项和,求.()15.已知数列中,求.解: 由得 由得 又得,于是 所以
