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1、20112012学年度潮阳一中高一数学竞赛辅导材料数列巧用构造法求递推数列的通项公式递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。本课利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。其中，怎样构造新数列是答题关键。而求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列和等比数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。一、型例1.在数列中，已知，求通项公式.二、型例2.已知数
2、列满足的通项公式.三、型例3.在数列中，求通项公式.四、型例4.设数列满足，求通项公式.五、型1例5.设数列满足，求通项公式.六、型例6.已知数列满足，求通项公式.七、型例7.已知函数，如存在，使得，则称是函数的一个不动点，设，（1）求函数的不动点；（2）对（1）中的两个不动点，求使恒成立的常数的值；（3）对由定义的数列，求其通项公式。结论：设，数列满足，且。（1）若方程有两个不等实根，则数列是公比为的等比数列；（2）若方程有两个相等实根，则数列是等差数列。练习：1已知数列中且，求数列的通项公式。2.在数列中，求通项公式。3.已知数列，其中，且，求通项公式。4.在数列中，求通项公式。5.设数列
3、的前项和满足：，则通项= 6.（05年重庆）设数列满足，且，记。求数列的通项公式及数列的前n项和。7. 已知数列满足，求。*8.设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和20112012学年度潮阳一中高一数学竞赛辅导材料数列数列前n项和Sn的求法一.数列求和的策略与思路数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后根据通项公式的结构，选择适当的求和方法.数列求和的思路：(1)首先判断数列是等差还是等比数列？若是，则代公式，这就是公式法.(2)若不是，再考虑是否可以转化为等差或等比数列求和.二.数列求和的常用方法:(1)公式法 (2)分
4、组求和 (3)裂项相消法 (4)倒序求和 (5)错位相减法 (6) 并项法三.基础训练题：1.数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+2n-1）,的前n项和等于 2. 数列的前项和为，若，则等于 3.数列an的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为 4.设，则等于 5. 设an是公差不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn等于 6.明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问尖头_ _盏灯”7.已知数列an的前n项和Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),那么S15的值为 .8.已知函
5、数，则= .四典型例题：例1. 已知an=(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.例2. 求和：+例3.已知成等差数列，n为正偶数，又，试比较与3的大小。例4.求和例5已知数列的通项，求其前项和综合练习1（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（ ）ABCD2（2006安徽初赛）正数列满足，则（ ）A98 B99 C100 D1013已知函数f(x)=，若数列an满足a1=，an+1=f(an)(nN+)，则a2012=_.4(集训试题)已知数列an满足3an+1+an=4(n1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是（ ）A5B6C
6、7D85（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，则（ ）A20 B4 C42 D145 6有限数列的前项和为，定义为的“凯森和”，如果有99项的数列的数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列的“凯森和”为（ ）A1001 B999 C991 D9907有一个塔形几何体由若干正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面的各边中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（ ）A4 B5 C6 D7 8 令，给定，考察由定义的数列，其中使数列只取有
7、限个不同的数值的实数的值有（ ）A1个 B2个 C3个 D无数个9使用计算器依照预先编制的程序进行计算，当依次输入两个数据为1和1时，输出的结果为2；若依次输入两个数据为和时，输出的结果为；依次输入两个数据为和时，输出的结果为；则当依次输入两个数据为1和时，输出的结果为 10阿诺卡塔游戏玩法：现有中间带孔的圆木片，这些圆木片以从大到小的次序穿在一根竹竿上，现在的任务是将这堆圆木片穿到其他一根竹竿上，但必须遵循如下规则：1） 圆木片只能一一搬动；2） 大的木片只能放在小的木片下面； 3） 搬动的次数尽可能少现有5块圆木片组成的阿诺卡塔，问至少移动 次能完成任务。 11数列的前项和为（I）求证：为
8、等差数列（II）设，求数列的通项12如图，的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，对于每个正整数，为线段的中点，令的坐标为，（I）求及（II）证明（III）若记，证明是等比数列答案：例1. 【解】 因为an+a100-n=+=，所以S99=例2. 一般地，所以Sn=例3. 可求得，n为正偶数，例5.解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，1.B; 2.B; 3.; 6.C; 7.C 8.D 9 10314.
9、解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则an-1是以8为首项，公比为-的等比数列， Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+(an-1)=6-6(-)n，|Sn-n-6|=6()n250，满足条件的最小整数n=7，故选C。5. 解：将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列.故 正确答案为D。11（I）由得故为等差数列（II）,12. 14（I）,由题意得故,故=2（II）两边除以2得又,故（III）,故是等比1已知函数f(x)=，若数列an满足a1=，an+1=f(an)(nN+)，则a2006=_.2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1
10、(n2)，则an的通项an=.7已知(n N+)，则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是_.姐妹不等式:和 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例6.证明:六、均值不等式放缩例9.设求证 解析: 此数列的通项为，即7.【解析】（1）由求根公式，不妨设，得，（2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，当时，此时方程组的解记为即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得,两式相减，得，即，当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由可知，即，等式两边同时除以，得，即数列是以1为公差的等差数列，,综上所述，（3）把，代入，得，解得从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！ /
