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1、.解析几何难点突破离心率专题离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考察的热点求解圆锥曲线的离心率的值或取值围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e的等式或不等式使问题获解典例(2016全国卷)O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PF*轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.思路点拨此题以椭圆点线的交织关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a，b，c满足的等量关系
2、，则方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件直线BM经过OE的中点作为突破口适当转化，获得所需等式方法演示法一：数形结合法如图，设直线BM与y轴的交点为N，且点N的坐标为(0，m)，根据题意，点N是OE的中点，则E(0,2m)，从而直线AE的方程为1，因此点M的坐标为c，.又OBNFBM，所以，即，解得，所以椭圆C的离心率为.法二：交点法同法一得直线AE的方程为1，直线BN的方程为1.又因为直线AE与直线BN交于点M，且PF*轴，可设M(c，n)则消去n，解得，所以椭圆C的离心率为.法三：三点共线法同法一得直线AE的方程为1，由题意可知M，N(0，m)，B(a,0)三点共线，则，解得，所以
3、椭圆C的离心率为.法四：方程法设M(c，m)，则直线AM的方程为y(*a)，所以E.直线BM的方程为y(*a)，与y轴交于点，由题意知，即ac2(ac)，解得，所以椭圆C的离心率为.法五：几何法在AOE中，MFOE，所以.在BFM中，ONMF，所以，即.所以1，即ac2(ac)，解得，所以椭圆C的离心率为.答案A解题师说1此题的五种方法，表达出三个重要的数学解题策略.找到关键词确定解题的突破口直线AE与直线BM相交于点M线段OE的中点点A，M，E三点共线点B，M，N三点共线适当设置参数或设点的坐标或根据解析几何知识解题几何观念几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、垂直
4、关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆的元素a，b，c的齐次关系式解题方程思想椭圆(双曲线)离心率的问题，关键是寻找a，b，c的齐次关系式，进而求得离心率由于椭圆(双曲线)的元素a，b，c在图形、方程中具有一定的几何意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题.2在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个根本思想，就是充分利用条件和挖掘隐含条件建立起a与c的关系式注意在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的围时需建立不等量关系式应用体验1(2018*模拟)F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最
5、大值为()A.B.C3 D2解析：选A依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，F1，F2分别为其左、右焦点，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则有e1，e2，则.在PF1F2中，易知F1F2P，由正弦定理得sinF1F2P，所以sinF1F2P，当且仅当sinF1F2P1，即F1F2P时取等号，因此的最大值是.2双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，则双曲线离心率的取值围为_解析：设直线l的方程为1.由，点(1,0)到直线l的距离d1与点(1,0)到直线l的距离d2之和sd1d2c，整理得5a2
6、c2，即52e2，所以25e2254e4，即4e425e2250，解得e25，e.故双曲线离心率的取值围为，.答案：，一、选择题1直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，假设椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即b*cybc0.由题意知2b，解得，即e.2(2016全国卷)F1，F2是双曲线E：1的左、右焦点，点M在E上，MF1与*轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A.B.C.D2解析：选A法一：作出示意图如下图，离心率e，由正弦定理得e.法二：因为MF1与*
7、轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.3(2018质检)双曲线C：m*2ny21(mn0)的一条渐近线与圆*2y26*2y90相切，则C的离心率等于()A.B.C.或D.或解析：选D当m0时，圆*2y26*2y90的标准方程为(*3)2(y1)21，则圆心为M(3,1)，半径R1，由m*2ny21，得1，则双曲线的焦点在y轴上，对应的一条渐近线方程为y*，设双曲线的一条渐近线为y*，即a*by0.一条渐近线与圆*2y26*2y90相切，圆心到直线的距离d
8、1，即|3ab|c，平方得9a26abb2c2a2b2，所以8a26ab0，即4a3b0，ba，平方得b2a2c2a2，所以c2a2，ca，故离心率e；当m0，n0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，P是双曲线C右支上一点，且|PF2|F1F2|，假设直线PF1与圆*2y2a2相切，则双曲线的离心率为()A.B.C2 D3解析：选B取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|F1F2|，则AF2PF1.直线PF1与圆*2y2a2相切，|AF2|2a.|PA|PF1|ac，4c2(ac)24a2，化简得(3c5a)(ac)0，则双曲线的离心率为.5F1，F2分别是椭圆1
9、(ab0)的左、右焦点，P是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P作F1PF2的角平分线交*轴于点M，假设2|PM|2|PF1|PF2|，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选B记PF1F22，PF2F12，则有F1MP2()，sinF1MPcos()sinF2MP，则椭圆的离心率e.由得，即，2sin 2sin 2cos2()，cos(22)cos(22)cos2()，即2cos2()12cos2()1cos2()，cos2()2cos2()，e，所以该椭圆的离心率e.6(201811校跨区调研)设双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，直线4*3y200过点F且与C在第二象限的交点为
10、P，O为原点，假设|OP|OF|，则C的离心率为()A5 B.C.D.解析：选A依题意得F(5,0)，|OP|OF|5，tanPFO，cosPFO，|PF|2|OF|cosPFO6.记双曲线的右焦点为F2，则有|FF2|10.在PFF2中，|PF2|8.由双曲线的定义得a(|PF2|PF|)1，则C的离心率为e5.7双曲线1(a0，b0)的右顶点为A，假设双曲线右支上存在两点B，C使得ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值围为()A(1,2) B(2，)C(1，) D(，)解析：选C如图，由ABC为等腰直角三角形，所以BA*45.设其中一条渐近线与*轴的夹角为，则45，即tan 1
11、.又其渐近线的方程为y*，则1，又e，所以1e，故双曲线的离心率e的取值围为(1，)8(2018五校协作体诊断)点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F2且垂直于*轴的直线与双曲线交于M，N两点，假设0，则该双曲线的离心率e的取值围是()A(，1) B(1，1)C(1，) D(，)解析：选B设F1(c,0)，F2(c,0)，依题意可得1，所以y，不妨设M，N，则2c，4c20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32e21，故1e232，得1e0，b0)的两条渐近线将平面划分为上、下、左、右四个区域(不含边界)，假设点(2,1)在右区
12、域，则双曲线离心率e的取值围是()A.B.C.D.解析：选B依题意，注意到题中的双曲线1的渐近线方程为y*，且右区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在右区域，于是有1，因此题中的双曲线的离心率e.10.过椭圆C：1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在*轴上的射影恰好为右焦点F.假设k，则椭圆C的离心率的取值围是()A.B.C.D.解析：选C由题意可知，|AF|ac，|BF|，于是k.又k，所以，化简可得，从而可得e0，b0)的右焦点且垂直于*轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，假设|AB|CD|，则双曲线离心率的取值围为()A.，B.，C1，D1，解析：选B将*c代入1得y，不妨取A，B，所以|AB|.将*c代入双曲线的渐近线方程y*，得y，不妨取C，D，所以|CD|.因为|AB|CD|，所以，即bc，则b2c2，即c2a2c2，即c2
