直线的交点坐标与距离公式

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1、直线的交点坐标与距离公式皿i撰稿：赵代立 责编：丁会敏、目标认知I学习目标：二1掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.2掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.重点：g1判断两直线是否相交，求交点坐标； 2两点间距离公式的推导.难点：二1.两直线相交与二元一次方程的关系；2应用两点间距离公式证明几何问题.二、知识要点梳理知识点一：直线的交点：皿i求两直线+ = 0（A11工）与&疋+禺尹+ G = 0（&禺G工0）的交点 j坷x+坊护+q = o1 Ar.x + （7-, = 0坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可若有4 _Ac, J1九 场 G ,则方

2、程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.知识点二：两点间的距离公式皿i两点來阿川 璟力儿）间的距离公式为|= 也-灯 +5_卅要点诠释：此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直 线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决另外在下一章圆的标 准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.知识点三：点到直线的距离公式皿i点戸(心耳)到直线& + + U

3、= 0的距离为要点诠释： 此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点叽耳)到直线禺+ + U = 0的距离为直线上所有的点到已知点卩的距离中最小 距离.知识点四：两平行线间的距离本类问题常见的有两种解法:转化为点到直线的距离问题,在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；距离公式：直线山+和+ = 与直线小和+ 0的距离为要点诠释：(1) 两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线 的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；(2) 利用两条平行直线间的距

4、离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中 x， y 的系数要保持一致.三、规律方法指导|曲应用解析思想解决问题的基本步骤：第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题 过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系 时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越 充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.第二步：进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算，求得所 需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直 线方程及两

5、直线的交点等.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.经典例题透析类型一：求交点坐标 1.判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标心1): 3x- 2y = l,l2 -,lx+y= 1;/1：2-6 + 5=072 = -+1)思路点拨： 判断两直线的位置关系，实质上就是两直线方程组成的方程组是否有解. 解析：(1)解方程组3x-2y=l所以直线1仏相交，交点是2忑 一 6尹 + 5 = 0(2)由方程组2x-6 + 5 = 0 (1) x-3j7 + l= 0(2)(1)-2减得3=0,矛盾. 方程组无解，所以两直线无公共点,叫.我们不光可以判

6、断两直线的位置关系，还可以通过交点坐标求出满足一系列条件的直线.举一反三：【变式1】已知直线满足下列两个条件：(1) 过直线 y=-x+1 和 y=2x+4 的交点;(2) 与直线x-3y+2=0垂直，求直线的方程.【答案】 p= -忑 + 1解：由得交点(T, 2), k=-3,所求直线的方程为:3x+y+1=0.变式2】(2011江苏如皋)经过点且与直线2x+y_5 = 0垂直的直线方程为.解析：与2x+y_5=0垂直的直线斜率为，所求直线的点斜式方程为:类型二：求两点间的距离皿i2.在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5, 8)的距离为5,并求直线PM的方 程.心思路点拨： 求点的

7、坐标，需要把点的坐标设出来，利用两点间的距离公式进行计算.解析：/点P在直线2x-y=0 上,可设 P(a, 2a),根据两点的距离公式得| PM2= 0皆+ (加一叩=宁即 42lj + 64 = 0=2a = 解得y-8 x-5 _kjy-8 x- 548= 25 所以直线PM的方程为即 4x-3y+4=0 或 24x-7y-64=0.总结升华：本题的关键点是点P在直线2x-y=0上，可设P(a, 2a)，这样使后面的计算更加简单.举一反三：【变式】已知点A(2, 0), B(0, 2),试在线段AB上求一点P,使得|0P|最小，并求出这个最小值.【答案】解：直线AB的方程为了 = 7+2

8、，点P在线段AB上，可设尸(兀2-X)| 0P= F +2忑尸=2(x-l)2 +2当疋二1时，|op |最小.使|0P|取最小值的点为P(1, 1, ), |OP|的最小值为旋.类型三：求点到直线的距离“曲仇求点P(3, -2)到下列直线的距离:思路点拨：求点到直线的距离，关键是利用好距离公式，把直线方程都化为一般式. 解析：_ 3 丄把方程卩+玄写成弘一心+1=0,由点到直线距离的公式得_ | 3x3-4x(-2)+l _ 18 #+ - 5 .因为直线$=6平行于忑轴,所以心1(-纠仝；(3) 因为直线x = 4平行于7轴，所以汨4一引=1.总结升华：当直线垂直于X轴或y轴时，也可以通过

9、数形结合求点到直线的距离.举一反三：【变式】点PT到直线4的距离()A1【答案】B3C5D4本题选A类型四：求两平行直线间的距离11命i4. 求两条平行线 ：弘+ % = 10 ：张+ 间的距离思路点拨： 求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.解析：方法一：若在直线“上任取一点A(2, 1),则点A到直线“的距离就是所求的平行线间的距离,一宀宁七呵一1所以 方法二：设原点到直线.仿的距离分别为兀心，则4一论即为所求.所以讣，岸7齐方法三：利用公式总结升华：求两平行直线间的距离可以利用距离公式，也可以根据几何意义，借助几何直观背景发挥形 象思维优势，常常可得到简洁优美

10、的解法.举一反三：【变式】(2010北京海淀二模)已知直线汗5 + 1 = 0，：5-1 = 0,则A,之间的距离为A. 1B.庞C.乔D. 2【答案】B【解析】1与乜之间的距离，故选B.学习成果测评忌基础达标：g1.已知 A(-2, -1), B(2, 5),则IABI等于()A.4 B.伍C.6 D.2尼2.已知点 A(-2, -1), B(a, 3) 且I AB I= 5，则 a 的值为()A.1B.-5C.1 或-5D.-1 或 53点尸(存)到直线的距离为4,则枕为()517A.1B.-3C.1 或彳 D.-3 或 彳0),判断 ABC的形状.4.已知点 A(1, 2), B(3,

11、4), C(5,5求与直线!：攵-心+ 6= 0平行且到/的距离为2的直线的方程.能力提升：宀6直线心7+1二乱，当丘变动时，所有直线都通过定点()A)b.(OJ)cdd. 1)7若直线= *上的点q到点尸，旋)的距离为屈，则点Q的坐标为()A (2+/2)R (旋，血)C.(0,0)或(品屆D-罷，-狀 或(血腸8若要点A(1, 2)、B(3, 1)和C(2, 3)到直线二粋的距离平方和达到最大，那么陀等于( )A.0B.-1C.1D.29直线过点(3, 4),且与点(-3, 2)的距离最远，那么直线？的方程为()A 3 + -!3 = 0B 3x-13=0C 3x-y + 3=0D 3x

12、+ jp + 13=010.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+l=0互相平行，则它们之间的距离是()11. 直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的交点在第四象限，求m的取值范围.12. 在直线2x-y=0上求一点P，使它到点M(5, 8)的距离为5,并求直线PM的方程.13. 求与直线平行且与直线的距离为2的直线的方程.14分别求经过两直线+ 4 = 0和易：-宀的交点且满足下列条件的 直线方程：平行于/忌-3+11=0垂直于_+厂2 = 0hi15. (2011河南质检4)直线处+即+ *0与圆宀9相交于两点必、，若则(。为坐标原点)等于()A.B.T4C.7D.141

13、6直线ax+by+6=0与x-2y=0平行，并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点，则a= _， b=.17.过点P(1, 2)引直线，使A(2, 3)、B(4, -5)到它的距离相等，求这条直线的方程.18. ( 2010山东烟台，模拟)已知三直线,直线“F + 3 + T和I + kT,且百与叽勺距离是也1 )求 a 的值；(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到1的距离是P点到的距离的；P点到A的距离与P点到%勺距离之比是旋：厉.若能，求P 点坐标；若不能，说明理由.答案与解析：益基础达标：g1. 【答案】D解析】*纠= 2伍.2. 【答案

14、】C【解析】将点A(-2, -1), B(a，3)代入两点间的距离公式，求关于总的一元二次方程.3. 【答案】D【解析】直接利用点到直线的距离公式即可.4. 解：J IABI= , IACI =压，IBCI ,. IACI=IBCI，即厶ABC是等腰三角形.5. 解：方法一：设所求直线方程为 5x-12y+c=0，r5x-12y+6-0 璟巧吒 *)在直线上取一点，点到直线5x-12y+c=0|-12x-+c |的距离为由题意得门解得 c=32 或 c=-20.所以所求直线方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0. 方法二：设所求直线方程为 5x-12y+c=0，由两平行线间的距离公式得解得 c=32 或 c=-20.所以所求直线方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.能力提升：宀6.【答案】 Cx-3=0【解析】由总p+z得w-u对于任何仁应都成立，则b-i = o 7.【答案】 C【解析】设(此町，利用两点间的距离公