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1、第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p(qr) （2）（pr）(qs) （3）（pqr）(pqr) (4)（rs）(pq) 2判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”3用真值表判断下列公式的类型：（1）(pq) (qp)（2）(pr) (pq)（3）(pq) (qr) (pr)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)5. 用等值演算法证明下面等值式：(1
2、)(pq)(pr)(p(qr)(2)(pq)(pq)(pq) (pq)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr (3)(p(qr)(pqr)7. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：pq,(qr),r结论：p (2)前提：qp,qs,st,tr结论：pq8.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：前提：p(qr),sp,q结论：sr9.在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：前提：pq,rq,rs 结论：p参考答案:1. （1）p(qr) 0(01) 0 （2）（pr）(qs) （01）(11) 010 （3）（pqr）
3、(pqr) （111） (000)0(4)（rs）(pq) （01）(10) 0012. p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 是无理数 1 s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p(qr)(ts)的真值为1，所以这一段的论述为真。3. （1） p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式（2）公式类型为可满足式（方法如上例）（3）公式类型为永真式（方法如上例）4. (2)（p(pq)）(pr)(p(pq)(pr)ppqr1 所
4、以公式类型为永真式 (3) P q r pq pr （pq）(pr)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式5.证明（1）(pq)(pr) (pq)(pr)p(qr)p(qr)（2）(pq)(pq)(p(pq) (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq)6.（1）主析取范式(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (0,
5、2,3) 主合取范式： (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp)(q(qp) 1(pq) (pq) M1 (1) (2) 主合取范式为： (pq)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式. 主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p(qr)(pqr) (p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)(p(pqr)(qr)(pqr) 11 1 所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)7.证明：（1）(qr) 前提引入qr 置换qr 蕴含等值式r 前提引入q
6、拒取式pq 前提引入p（3） 拒取式证明（2）：tr 前提引入t 化简律qs 前提引入st 前提引入qt 等价三段论（qt）(tq) 置换（qt） 化简q 假言推理qp 前提引入p 假言推理(11)pq 合取 8.证明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理9.证明：p 结论的否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步rr 是矛盾式,所以推理正确.第二章部分习题及参考答案1. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)
7、对于任意x,均有2=(x+)(x).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在合肥卖菜的人不全是外地人.3. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 4.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0. (c) 特定函数(x,y)=xy,x,y. (d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):xy,x,y. 说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:(1)(2)5. 给定解释I如下：
8、 （a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函数=x+y,(x,y)=xy. （d） D上谓词(x,y):x=y.说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值.(1) xF(g(x,a),x)(2) xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)6. 判断下列各式的类型:(1) (2) yF(x,y).7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。(1) (F(x)(2) x(F(x)G(x)H(x)8.给定解释如下:(a)个体域D=3,4;(b)为(c). 试求下列公式在下的真值.(1) (3)9.求下列各式的前束范式。(1) (2) 10.在自然
9、数推理系统F中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ,结论: xR(x)(2) 前提: x(F(x)(G(a)R(x), xF(x)结论:x(F(x)R(x)参考答案：1.解：F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为，在（a）(b)中均为真命题。2.解:(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数命题符号化为: (2)F(x): x是合肥卖菜的人 H(x): x是外地人命题符号化为: 3.解:(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y
10、快命题符号化为: (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快命题符号化为: 4.答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果xy, 那么xy. 真值1.(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么xy. 真值0.5.答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.6.解:(1)因为 为永真式； 所以 为永真式；(2)取解释I个体域为全体实数F(x,y)：x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，此时为假命题再取解释I个体域为自然数N，F(x,y)：:x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。7.解:(1)个体域:本班同学F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释F(x)：x是合肥人,G
