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1、一.二次函数、圆切线、三角函数、面积最值的综合题2.(分)(黔东南州）如图，M的圆心(1,），通过坐标原点，与y轴交于点A，通过点的一条直线解析式为:=x+与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线通过x轴上点D(2，0)和点C（4，）.(1）求抛物线的解析式；(2）求证:直线l是M的切线;(3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线垂直，垂足为E,PFy轴,交直线l于点F，与否存在这样的点,使EF的面积最小?若存在,祈求出此时点P的坐标及PF面积的最小值；若不存在，请阐明理由【考点】H：二次函数综合题.菁优网版权所有【分析】（）设抛物线的解析式为=a(2）（x+4）,将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛
2、物线的解析式；(2）连接A,过点M作MGAD，垂足为先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、E、OA、B的长，然后运用锐角三角函数的定义可证明MAG=ABD,故此可证明AMB；（）)先证明FPE=BD则PF：PE:EF=:2:1则PEF的面积=2,设点P的坐标为（,2x+)，则F(,x+4）然后可得到PF与x的函数关系式，最后运用二次函数的性质求解即可.【解答】解：（1)设抛物线的解析式为y=a（x2）（x4),将点M的坐标代入得:9a2,解得:a=抛物线的解析式为y=xx+（2)连接AM，过点M作MGAD，垂足为G.把=0代入y=+得:y=4，（0，4).将y=0代入得:0=+4,解得x
3、=，B(8，).OA，OB=M（1，2)，A（0,4),MG=1，=2.tanAGtanABOAG=ABO.OA+ABO=90,M+B90,即A=0是的切线(3)PFEFPE=9，FB+PE90,FPEFDtnFP=.PF:PE：EF:2:1.PEF的面积=EE=PFPFP2当PF最小时,EF的面积最小.设点P的坐标为（x，x2x+),则F(x,+4）.PF=(+4）(x2x）=+42+x=x2x+=(x)2+.当x=时,F有最小值，PF的最小值为P(，）PEF的面积的最小值为=(）2.【点评】本题重要考察的是二次函数的综合应用,解答本题重要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、锐
4、角三角函数的定义，列出F与x的函数关系式是解题的核心 二、二次函数综合:待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的鉴定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识3(11分）（河南）如图，直线y=x+c与轴交于点A(3，0）,与y轴交于点B，抛物线=2+bx+c通过点A,.（1)求点B的坐标和抛物线的解析式;（2）M(，0)为轴上一动点，过点M且垂直于轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,点M在线段OA上运动，若以B,P,N为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标；点M在x轴上自由运动,若三个点M,P，中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重叠除外）,则称，P,N三点为“共谐点
5、”.请直接写出使得M，N三点成为“共谐点”的的值【考点】HF:二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标,由A、B的坐标,运用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由M点坐标可表达P、N的坐标,从而可表达出MA、MP、P、PB的长，分NP0和N0两种状况,分别运用相似三角形的性质可得到有关m的方程，可求得m的值；用m可表达出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段N的中点、为线段N的中点或N为线段PM的中点，可分别得到有关m的方程,可求得m的值.【解答】解：(1)yx+c与轴交于点(3，)，与轴交于点B,02+c,解得=2,(0,2），抛物线xb+
6、通过点A,B,解得,抛物线解析式为=x2+x+2；（2)由（1）可知直线解析式为=+2,M(m,0)为x轴上一动点,过点M且垂直于x轴的直线与直线A及抛物线分别交于点P，,P(m，m+),N(m,m+)，PM=m+,PA3m，PN=m+m(2）=m2+4，BPN和APM相似，且BPNAP，BPAP=0或NM0，当NP=9时,则有BNMN，BN=OM=m，=，即=，解得m=0(舍去）或m2，(2，0);当NB=9时,则有=，（3，0），B(0，2)，(m，m2），BP=m，AP=（3m），=,解得m(舍去)或m=，M（,0);综上可知当以,N为顶点的三角形与PM相似时，点M的坐标为（,0）或（,
7、0）；由可知M(m，0），P（m，m+2）,N(m，m+2）,M，P,N三点为“共谐点”,有为线段M的中点、为线段P的中点或N为线段PM的中点,当P为线段MN的中点时,则有2（m+2）2m+2，解得m=3（三点重叠，舍去）或=;当为线段N的中点时,则有m+2(m2+m+2）,解得m3(舍去）或=1;当N为线段PM的中点时,则有m+=2（2+m+2),解得=3（舍去)或m=；综上可知当M，P,N三点成为“共谐点”时的值为或1或.【点评】本题为二次函数的综合应用，波及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的鉴定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用
8、，在(2)中运用相似三角形的性质得到有关的方程是解题的核心，注意分两种状况，在（2）中运用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的核心，注意分状况讨论本题考察知识点较多,综合性较强，分状况讨论比较多，难度较大. 三、二次函数的应用、线段的和差、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的核心是设参数解决问题,把问题转化为方程解决，属于中考常考题型23.(9分)（淄博)已知,点M是二次函数y=a(a)图象上的一点,点的坐标为（0,）,直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一种圆上，圆心的纵坐标为.（1)求a的值;(2)当，Q,M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标;（3）当点M在第一象限时，过点作MN
9、x轴,垂足为点N，求证：=MOF【分析】(）设Q（m，），F（,)，根据O=列出方程即可解决问题（2）设（t，t)，(，），根据KM=OQ，求出t、m的关系，根据Q=QM列出方程即可解决问题（3）设M(,n2）(n0)，则N（n，0），F（,),运用勾股定理求出MF即可解决问题【解答】解：（）圆心的纵坐标为，设（m,)，F(0,),=QF,m2+（)2+()2,a=1，抛物线为=2.()M在抛物线上，设（，t2），Q(m，),O、M在同始终线上，KOM=KOQ,，m=，QOQM，m+（）2=（t)（t)，整顿得到： t2+t4+22t=0，t4+3t21=0，（2+1)(4t2）=,t1=，t
10、2=，当t1=时，m1=，当t=时，2=1（，),1(，),M2(,)，Q2（,).()设（n，n2）(n0)，N（n，),F（0,),MF=n2+,MN+OF=n2+,MF=MOF【点评】本题考察二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的核心是设参数解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型22（分)（河南)如图,在AC中,A=90,A=C,点D，E分别在边，上，=AE,连接DC,点，P,N分别为D,BC的中点.(1)观测猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是PMPN ，位置关系是 PMP ；(2)探究证明 把ADE绕点逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN，BD,CE，判
11、断N的形状，并阐明理由;（）拓展延伸 把ADE绕点在平面内自由旋转,若D4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值【考点】：几何变换综合题.菁优网版权所有【分析】(1)运用三角形的中位线得出PM=C，PBD，进而判断出B=CE，即可得出结论,另为运用三角形的中位线得出平行线即可得出结论;（）先判断出ABA,得出BD=CE,同(1)的措施得出M=D,PN=BD,即可得出PM=PN，同(1）的措施即可得出结论；(3）先判断出MN最大时，N的面积最大，进而求出N,M，即可得出N最大=M+N,最后用面积公式即可得出结论.【解答】解：（）点P，N是BC，CD的中点,PNBD，PN，点P，M是CD，DE
12、的中点，PCE,PM=C,AB=AC，DAE,D=CE,PM=PN,PNB,DPNADC，PMCE,PM=DC,=90,ADC+A=90，MP=DPM+DN=CA+DC=0,PMN,故答案为：PMPN,MPN，(2）由旋转知,A=CAE,AB=AC，AD=A，ABDACE（AS)，AD=CE，BD=C，同（1）的措施，运用三角形的中位线得,PN=D，PM=CE，P=PN，PM是等腰三角形，同(1)的措施得，PMCE,DM=C，同()的措施得，BD,PC=DBC，DPNDCBDBDC，PN=DPM+DPN=DCE+DCBDBC=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC=AC+BD+BCB+ABC,BAC=90，C+AB0,MP=9，PN是等腰直角三角形，（）如图2,同（）的措施得,MN是等腰直角三角形,MN最大时,PMN的面积最大，EBC且E在顶点A上面，M最大=AMAN,连接A，AN,在ADE中,=AE=，DAE=0,A2，在tBC中,AB=0,=5,M最大2+57,SPMN最大=PM=MN2=(7)2.【点评】此题是几何变换综合题，重要考察了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的鉴定和性质,全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质,解(1)的核心是判断出PE，PN=
