《立体几何证明方法汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何证明方法汇总（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、CB中位线定理例题：已知如图：平行四边形ABCDK BC 6，正方形ADEF所在平面与平面 ABCDi直，G, H分别是DF, BE的中点.(1) 求证：GH/平面CDE(2) 若CD 2, DB ,2，求四棱锥F-ABCD的体积.练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC-ABC 中，AC=3 BC=4 AB=5AA=4，点D是AB的中点求证：AC/平面CDB;12.如图，ABCDA1B1C1 Di是正四棱柱侧棱长为 1,底面边长为2,E是棱BC的中点。(1)求证：BDi平面CiDE ；(2)求三棱锥D D1 BC的体积.3、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD 底面A
2、BCD，PD 4, DC 3，E是PC的中点。(1)证明：PA/ 平面BDE ；(2)求 PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。可编辑文档例2、如图，在矩形ABCD中，AB 2BC ,P,Q分别为线段 AB,CD的中点，EP丄平面ABCD .求证：AQ /平面CEP ；（利用平行四边形）练习：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面,E、F分别是 AB PD的中点。求证： AF/平面PCEPFGAEBC如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD 平面ABCD , M N分别是AB PC中点。求证:MN / 平面 PAD 如图，已知 AB 平面ACD DE/AB , ACD是正三角形， AD
3、= DE= 2AB 且F是CD的中点.求证：AF/平面BCEEFDC的交点.求证：Ci 面比例关系例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点,例关系)M N分别是PB BC上的点，且 BM BN ,求证：mn平面PCD利用比PM NC练习：如图，四边形ABCD为正方形，EA 平面ABCD , EF/AB , AB = 4,AE = 2, EF =1 . (n)若点M在线段AC1上，且满足 CM -CA ,求证：EM/平面FBC ;4BCF= CEF=90 ,AD=、3,EF=2。（I）求证：平面面平行-线面平行例题4、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BE/CF , 面ABE/
4、平面CDF(II )求证：AE/平面DCF；(利用面面平行-线面平行)练习：1、如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为正方形,PD 平面 ABCD, PD AB 2, E, F ,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证：；PA/ 面 EFG ；(2)求三棱锥P EFG的体积.2、如图，在直三棱柱ABC AB1C1中，aCB 90,E，f，G 分别是 AA1, AC，BBl 的中点，且 CG ClG.(I)求证：CG/平面BEF ；BiG3、如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD CD, AB/CD, CD 2 AB 2 AD .在EC上找一点M，使得BM
5、/平面ADEF ,请确定M点的位置，并给出证明.CB4、(2012山东文)如图，几何体 E ABCD是四棱锥， ABD为正三角形， CB CD,EC BD .(I )求证：be de ；(n )若/ BCD 120 , M为线段AE的中点,求证：DM /平面BEC .例题：如图，已知四棱锥P ABCD。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F,过AP和点F的平面与 平面BDE的交线为FG，求证：AP/FG。证明：连AC与BD,设交点为0,连0E可编辑文档练习：1、如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形, BAD
6、60， N是PB中点，过 A N D三点的平面交 PC于M .求证： AD/MN ;C2、（ 2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AQD中，AD/ BCAD丄ABAB= 2 AD=2, BC=4,AA=2,E是DD的中点，F是平面BCE与直线 AA的交点。（1）证明：EF/ AiD;(K2ogEB)3.如图，四边形 ABCD是矩形，平面 ABCD平面BCE BE EC.(1) 求证：平面 AEC 平面ABE (面面垂直性质)BF1(2) 点F在BE上，若DE/平面ACF求 的值。(线面平行的性质 )BE2例、如图，在正方体 ABCD AB1C1D1中，E、F、G分别是AB
7、、AD、CiDi的中点. 求证：平面D1EF /平面BDG .练习：如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G H分别是BC CC、CQ、AA的中点.求证:(1) EG/平面 BBDD; (2)平面 BDF/ 平面 BiDH.例题：已知在正方体ABCD-Ai B1C1D1中，E,F分别是C1 D1和D1A1上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体相交于AC,求证：EF /平面ABCD菱形的对角线互相垂直：例题。已知E, F分别是正方形 ABCD边AD, AB的中点，EF交AC于M GC垂直于ABCD所在平面。 求证：EF丄平面GMC（2）BD AC1练习：如图ABCD-Ai
8、BiCiDi是底面为正方形的长方体，求证：（1） BD 平面ACCiAACB90 ,P等腰三角形底边的中线垂直底边例1、如图，在三棱锥P ABC中，AC BC 2 ,AP BP AB , PC AC 求证：PC AB ；PADBC练习：1、在三棱锥 A-BCD中，AB=AC,BD=D（求证：BC AD圆的直径所对的圆周角为直角例题3、如图AB是圆0的直径，C是圆周上异于 A、B的任意一点， PA平面ABC（ 1）图中共有多少个直角三角形？（ 2）若AH PC ,且AH与PC交于H,求证：AH 平面PBC.利用勾股定理例4、在长方体ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱BAA! 2，E
9、是侧棱BB1的中点。求证： AE 平面AD ； 证明： ABCD A.BQ.D,为长方体，练习：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，D1C1PA CD, PA 1, PD .2 ,求证：（1）PA 平面 ABCD（2）求四棱锥P-ABCD的体积.ABPC间接法，用线面垂直的性质定理（丨b,b lb）例题：如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB 60 ,AB 2AD, PD 底面 ABCD，证明：PA BD ;练习 1 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC=3, BG4, AB=5, AA1 4 ,点D是AB的中点。（i）求证：AC BC1 ；练
10、习2:如图，四边形ABCD为矩形，BC 平面ABE , F为CE上的 点，且BF 平面ACE.求证：AE BE ;可编辑文档证明：因为BC平面ABE , AE平面ABE ,例1如图，AB是OO的直径,PA垂直O 0所在的平面,C是圆上不同于A, B的任意一点，求证：平面PACL平面 PBC练习1：如图，棱柱 ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，A1BDKDC2、如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在BQ上，A1D B1C 求证：(1) EF/平面ABC (2)平面AFD 平面BB1C1C .3、如图， ABCD是正方形，S从平面ABCD B
11、KSC于K，连结 求证(1)平面SBCL平面KBD例1 :如图，在四棱锥P ABCD，侧面 PADL底面 ABCD侧棱PA= PD O为AD中点，求证：PCL平面ABCD600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PBC例2:如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是 DAB平面PAD垂直于底面ABCD (1) 若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD ；(2) 求证：AD PB ;H练习：1、如图AB是圆0的直径，C是圆周上异于 A B的任意一点，PA 平面ABC (1)图中共有多少个直角三角 形？ ( 2)若 AH PC ,且AH与PC交于H,求证：平面 PAC 平面PBC.
12、(3) AH2、在四棱锥 P ABCD中，平面PAD!平面ABCD AB=AD / BAD=60 , E、F 分别是 AP AD 的中点. 求证：平面 BEF!平面 PAD3、如图，正方形 ABCD所在平面与以 AB为直径的半圆 0所在平面 ABEF互相垂直, 点，求证：。1直线 AP!平面 PBC 平面 PBCL平面 APC4、如图，三角形ABC中, AC=BC二AB , ABED是边 2BP为半圆周上异于 A，B两点的任长为a的正方形，平面ABED丄底面ABC且，若 G F分别是EC BD的中点，（I）求证：GF/底面ABC（U）求几何体ADEBC勺体积V。5、如图，A B, C，D为空间
13、四点在 ABC中，AB 2, AC BC 2 .等边三角形 ADB以AB为轴运动.（I）当平面ADB 平面ABC时，求CD ;五、体积问题1.如图，ABCD A.B.C.D,是正四棱柱侧棱长为(1) 求证：BDi / 平面 Ci DE ;(2) 求三棱锥D DiBC的体积.1,底面边长为2，E是棱BC的中点练习1：三棱锥P ABC中,PAC和PBC都是边长为 2的等边三角形，AB2,0、D分别是AB PB可编辑文档的中点.(1)求证：0D/平面PAC (2)求证：平面 PAB丄平面ABC ;(3)求三棱锥A PBC的体积.A1D12、如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB AA1 1, AD 2, E 是 BC的中点(I)求证：平面A,AE 平面D1DE ; (II)求三棱锥A A1DE的体积.P3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于
