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1、必修5 第二章 数列河南省淮阳第一高档中学 苏继付 编写21数列的概念与简朴表达法【知识精要】1、 数列的定义、数列的项、首项及其表达和一般形式。2、 数列的分类：有穷数列和无穷数列。3、 数列的单调性：（1） 递增数列：;(2)递减数列:；()常数列：；(4）摆动数列（略)。4、 数列的通项公式:如果数列的第项与项数之间的关系可以用一种式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式:。5、 数列的递推公式:如果已知数列的第一项（或前几项）,且从第二项(或某一项）开始的任一项与它的前一项(或前几项）(）之间的关系可以用一种公式来表达,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。6、 数列的前项和,特
2、别地,，因此【难点释疑】1、 数列与数集的区别:()数列中的项（数)讲顺序;（2）数列中的数可以反复浮现。2、 数列与函数的关系:数列是特殊的函数,数列可以当作以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数当自变量按从小到大的顺序取值时所相应的一列函数值。3、 表达相邻两项关系的递推公式称为一阶递推式，如，若已知首项,就可以拟定这个数列;表达相邻三项关系的递推公式称为二阶递推式,如,若已知前两项,就可以拟定这个数列； 【典型例题】例1、写出下面数列的一种通项公式,使它的前几项分别是下列各数：（1) () （3）(4) （5) (6）【点评】熟记下面几种常用数列的通项公式：（1） , 数列 等以此为
3、基本；（2） ,数列、等以此为基本;（3） ，数列、等以此为基本；（4） ，数列、等以此为基本；例2、设数列的前项和为,分别在下列状况下求的通项公式：（1） （）【点评】运用，注意验证时与否满足公式,若不满足，要写成分段形式。例3、分别在下列状况下求数列的通项公式：（1） ; （2) 【点评】(1)对于递推关系形如的数列，且为可求和数列，采用累加法求其通项公式;（2）对于递推关系形如的数列,且为可求和数列，采用累乘法求其通项公式。例4、已知数列的通项公式是，试问该数列有无最大项?若有,求出这个最大项；若没有,说吗理由。【点评】数列最值问题的解决,一般有两种措施:其一,判断单调性（化简观测、作差
4、或作商)；其二，运用不等式组求的取值范畴。【实战演习】1、数列的递推公式是 （ )A、 B、C、 D、2、 已知,那么等于( ）A、 B、 C、 D、3、 在数列中，,则 ( ）A、 B、 、 D、4、 在数列中,则_.5、 数列中,已知，且，则等于_.6、 已知数列满足:,且为递增数列，则的取值范畴是_.7、 已知,若数列是递减数列,则实数的取值范畴是_8、 已知数列的前项和为，且,则_9、 已知数列满足:,则_ ,_.10、 已知数列的通项公式为，(）若数列满足,求的通项公式； （2)若数列满足，求的通项公式。11、 已知函数,数列满足，且。(1) 求数列的通项公式; (2)判断数列的增减
5、性。11、 设是首项为1的正项数列,且，求它的通项公式。12、 已知，则数列的最大项是第_项。13、 写出下面几种数列的通项公式:（5） 、；（6） 、；（7） ,、.,，,2.等差数列【知识精要】1、 定义：若数列满足(为常数）,则叫做等差数列,这里的常数叫做等差数列的公差。2、 等差中项:由三个数构成的等差数列是最简朴的等差数列，其中叫做与的等差中项，有或。3、 递推公式:(1)(一阶递推式),（2）(二阶递推式）。4、 通项公式: ,变形：，推广:,由此可得（的几何意义：数列图像所在直线的斜率)。 注:通项公式的推导可采用(1）归纳法(2)迭代法（）累加法（4)逐差法 5、 单调性：(1
6、)时,递增;(2）时,为常数列;(3），递减。6、 性质:(1）等差数列的持续项和：仍成等差数列;（2） 设，若，则, 可推广为：设，若，则。(3)若数列都是等差数列,则数列也是等差数列。(同窗们可以自己完毕证明)【难点释疑】1、 证明数列是等差数列，除了定义式之外，也可以用中项公式；若数列的通项公式是,可以证明是等差数列,也可以作为等差数列的一种鉴定措施，但不能用于证明。2、 应用性质（1)、(2）时要注意等号两边项数必须相似,否则会导致错误。【典型例题】例、若数列满足，求证:是等差数列。【点评】证数列是常数列。结论：若数列是等差数列,则是常数列；反之，也成立。例2、在等差数列中，,，求。【
7、点评】已知等差数列的任意两项，求的其他项,运用公式和求解,比列方程解出和要简朴。例、已知两个等差数列5，8,1,和，7，11均有10项，问它们有多少个相似的项?【点评】求两个等差数列、的公共项的问题，常用两种措施:其一，设,得到和的关系式,通过、均为正整数来拟定(或)的取值集合；其二，直接求两数列公共项构成的新数列的通项公式,第一种公共项就是首项,的公差等于两数列、的公差的最小公倍数。例4、已知函数,数列的通项由(且)拟定。（1） 求证:是等差数列； (2）当时，求。【点评】本体的解答告诉我们：形如的递推关系，可以采用“倒数法”,化为等差数列,求其通项公式;也可以化为的形式，两边同除以转化为等
8、差数列，求其通项公式。例5、已知数列满足，记。（1） 求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式。【点评】证数列是等差数列,就是证为定值,即证为定值;先求再求。例、()已知三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116，求这三个数;（2） 已知成等差数列的四个数之和为2,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列。【点评】三个数成等差可设为；四个数成等差可设为;五数成等差可设为,例7、已知数列满足:，求的通项公式。【点评】形如的递推关系式,可以两边同除以,化为等差数列来解决。例8、已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且,求数列的通项公式。【点评】“消和保项”【实战演习】1、
9、等差数列中，则 （ )、98 B、 C 、10 、102、 等差数列中, （ )A、14 B、21 C、2 D、353、 在数列中,，则的值为 ( )A、49 、50 、51 D、24、 一种等差数列的首项为，从第项起开始比大,则这个等差数列的公差的取值范畴是( )A、 B、 、 D、5、 若，两个等差数列与的公差分别为,则 ( )6、 等差数列中,若，则_.7、 若为等差数列，则_.8、 设数列都是等差数列，若，则_9、 已知等差数列的通项公式是，为常数，则公差=_10、 在数列中，,且对任意，点在直线上,则_.11、 已知数列中,，且数列是等差数列，求的通项公式。、（1）已知数列满足,求的
10、通项公式；（2)已知数列满足,求的通项公式.13、已知数列满足,（)求； （）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式.14、已知等差数列的前项和为,且满足。（1）求证:数列是等差数列; （）求的通项公式。15、设数列满足：.（1） 求证:数列为等差数列，并分别写出和有关的体现式;（2） 设数列的前项和为，证明:;（3） 与否存在正整数,使得若存在，求出；若不存在阐明理由。23等差数列的前项和【知识精要】1、 等差数列的前项和公式：(1)，(2)。2、 设是等差数列的前项和，则,因此数列也是等差数列，其首项等于的首项,公差是公差的一半。3、 设是等差数列的前项和，则,这个公式很常用,请同窗们牢记
11、。4、 等差数列的持续项和:仍成等差数列；【难点释疑】1、等差数列的鉴定措施有5种：（），(2）,（3），（4） ,（5），但是在规定证明的时候，只能应用(1)和(2）。2、公式可变形为,若令，则。3、设是数列的前项和,若，可以证明是等差数列;若,也可以证明是等差数列。（请同窗们动手证一证)4、可以借助函数的图像解决的最值问题，函数的图像有六种，对称轴方程为;的最值问题也可以通过度析项的符号来解决。四类问题中重点探讨两类问题：(1），求的最小值；（）,求的最大值。【典型例题】例1、已知数列都是等差数列,它们的前项和分别是，且,求。【点评】运用公式。例2、设是等差数列，为前项和，已知,求数列的前
12、项和。【点评】设求最为简便。例3、设是等差数列的前项和，已知前6项和为36,最后6项和为10，（)，求项数。【点评】采用“倒序求和”,整体求出。例、在等差数列中,其前项和为。（1） 求的最小值及获得最小值时的值;（2）求。【点评】求的最值有两种措施：（1)求，分析的符号，(）求，借助二次函数的图像和性质;求,先去绝对值,再转化为等差数列的前项和来求解,(求试试成果与否相似：)用“求及”来理解分类讨论的因素。例4、已知各项都是正数的数列，其前项和为,若,（）求证：数列是等差数列；(2)若,求。【点评】(1）运用消去及其相邻的项，化为递推关系式；()如下数列常用裂项法求和:例5、设是等差数列的前项
13、和,已知，求。【点评】本题有多种解法，设最为简便。例6、设等差数列的前项和为,已知。（1） 求公差的取值范畴； （2)指出中哪一种值最大,并阐明理由。【点评】(1)消去，解有关的不等式组；（2）判断出与0最接近的两项，即可拟定的最值。例7、是等差数列的前项和,且满足。证明是等差数列,并求数列的通项公式。【点评】“消项保和”,再由求出。例8、（）已知等差数列的项数为，所有奇数项和为15，因此偶数项和为15,求的值;（2） 已知等差数列的前0项和为7，其中奇数项和与偶数项和之比为1：，求公差。【思路点拨】(1)设等差数列有项，则，因此，；（2） 设等差数列有项,则,因此，。【实战演习】题型太多,可以分、B、C三组1、 已知等差数列的前项和为,且有,则公差等于( ） 2、 设是等差数列的前项和,若,则 ( ) 3、 已知等差数列的前项和为,若,则数列的公差是（ ) 4、 已知等差数列的前项和为,若,则 ( )5、 设等差数
