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1、3.3几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义 在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称
2、为几何概型. 对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域D,又知区域d包含在区域D内（如下图所示）,而区域D与d都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向D内投掷一点M,假设点M必落在D中,且点M可能落在区域D的任何部分,那么落在区域d内的概率只与d的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与d的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域D中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率P(A)=. 这里要求D的测度不为0,其中“测度”的意义依D确定,当D分别是线段、平面图形和立体图形时,相
3、应的“测度”分别是长度、面积和体积等.疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围 同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是0P(A)1.这是因为区域d包含在区域D内,则区域d的“测度”不大于区域D的“测度”.当区域d的“测度”为0时,事件A是不可能事件,此时P(A)=0；当区域d的“测度”与区域D的“测度”相等时,事件A是必然事件,此时P(A)=1.（2）求古典概型概率的步骤：求区域D的“测度”；求区域d的“测度”；代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将
4、试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例1 某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘客到达汽车站的任一时刻是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.【探究】这是一个与长度有关的几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,据题意,乘客必然在（t-5,t内来到车站,于是D=x|t-5xt. 若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3xt,所以A=x|t-3xt据几何概率公式得P（A）=0.6规律总结 （1）把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键
5、.然后寻找事件A发生的区域,从而求得d的测度.（2）本题也可这样理解：乘客在时间段（0,5内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间2,5内.案例2 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.【探究】这是一类与面积有关的几何概型问题. 设A=两艘船中至少有一艘停靠时等待.建立平面直角坐标系,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则（x,y）表示的所有结果是以24为边长的正方形. 事件A发生的条件是0x-y6或0y-x6,即图中阴影部分,则D的面积为242,d的面积为242-182.P（A）=
6、.规律总结 (1)甲、乙两船都是在024小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间；分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果（x,y）就对应于图中正方形内的任一点.（2）找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.（3）这一类问题我们称为约会问题.案例3 在长度为a的线段上任取两点将线段分成三段,求它们可以构成三角形的概率.【探究】解法一：假设x、y表示三段长度中的任意两个,因为是长度,所以应有x0,y0且x+ya,即x、y的值在以（0,a）、(a,0)和（0,0）为顶点的三角形内,如右图所示. 要形成三角形,由构成三角形的条件知,x和y都小于,且x+y(如图阴影部分)
7、. 又因为阴影部分的三角形的面积占形成总面积的,故能够形成三角形的概率为.解法二：如右图,作等边三角形ABC,使其高为a,过各边中点作DEF.DEF的面积占ABC的面积的.因为从ABC内任意一点P到等边三角形三边的垂线段长度之和等于三角形的高（由等积法易知）,为了使这三条垂线线段中没有一条的长度大于,P点必须落在阴影部分即DEF内（DM=）.所以符合题意要求的情况占全部情况的,即所求概率为.解法三：如下图,作一边长为a的正方形,过相对两边的中点作两条斜线,阴影部分占整个正方形面积的.令AB上距离底边为x的点表示第一个截点的位置,则第二个截点一定落入阴影部分（y,z）.因此,符合题意要求的情况占
8、全部情况的. 所以所求的概率为.规律总结 解决此题的关键在于弄清三角形三边长之间的关系,由题意易知,三边长之和为定值a,且三边长分别小于a2.把握住了这两点,就能使问题准确获解.3.随机数的产生与随机模拟方法（1）随机数的产生 利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到a,b内的均匀随机数,试验的结果是a,b上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.（2）随机模拟试验 用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法进行,因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它可以在短时间
9、内多次重复.用计算器或计算机模拟试验,首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量.我们可以从以下几个方面考虑：由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数.如长度型、角度型（一维）只用一组,面积型（二维）需要用两组.由所有的基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围.由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式.（3）随机模拟的基本思想是用频率近似于概率,频率可由试验获得.案例4 取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？【探究】在任意位置剪断绳子,
10、则剪断位置到一端点的距离取遍0,3内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果（即基本事件）对应0,3 上的均匀随机数,其中1,2上的均匀随机数就表示剪断位置与端点 的距离在1,2内,也就是剪得两段的长都不小于1 m,这样取得的1,2内的随机数个数与0,3内的随机数个数之比就是事件A发生的频率.【解析】记事件A=剪得两段的长都不小于1 m.利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.经过伸缩变换,a=a1*3.统计出试验总次数N和1,2内的随机数个数N1.计算频率fn(A)=N1/N即为概率P（A）的近似值.规律总结 用随机模拟法估算几何
11、概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.案例5 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（曲线y=2x与x轴,x=1围成的部分）的面积.【探究】在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.【解析】（1）利用计算机产生两组0,1上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.（2）进行平移和伸缩变换,a=2a1-1,b=b1*2,得到一组-1,1上的均匀随机数和一组0,2上的均匀随机数.（3）统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1（满足条件b2a的点（a,b）.（4）计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.（5）用
12、几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.S即为阴影部分面积的近似值.规律总结 解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率,然后通过方程求得阴影部分面积的近似值.活学巧用1.判断下列概率模型是古典概型还是几何概型？（1）如下图,转盘上有8个面积相等的扇形.转动转盘,求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率.(2)在500 mL的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.解析：以上2个试验的可能结果个数无限,所以它们都不是古典概型.而是几何概型.2.利用几何概型求概率应注意哪些问题？解：应该注意到:（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件
13、是等可能发生的概率类型；（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.3.有一杯1 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1 L水,则小杯水中含有这个细菌的概率为（ ）A.0 B.0.1 C.0.01 D.1解析：1个细菌在1 L的水中,在每一个位置都是可能的,那么只有这个细菌在这0.1 L的水中,这件事件才能发生.由几何概型公式得P（A）=0.1.答案：B4.如下图,如果你向靶子上射200支镖,大概有多少支镖落在红色区域（颜色较深的区域）（ ）A.50
14、 B.100 C.150 D.200解析：这是几何概型问题.这200支镖落在每一点的可能性都是一样的,对每一支镖来说,落在红色区域的概率P=,每一支镖落在红色区域的概率都是12,则200支镖落在红色区域的概率还是,则落在红色区域的支数=200支=100支.答案：B5.如下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率分别为_,_.解析：这是几何概型问题,在平面上随机撒一粒黄豆,那么黄豆既可能落在三角形内,也可能落在圆内空白区域,并且落在每一点的可能性是一样的,只有落在三角形内才说明事件A发生.P（A）=.P（A）=.答案： 6.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间
15、为5秒,绿灯亮的时间为40秒.当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.解：在75秒内,每一时刻到达路口的时候是等可能的,属于几何概型.（1）P=；（2）P=；（3）P=.7.在线段0,3上任取一点,则此点坐标不小于2的概率是( )A. B. C. D.解析：在线段0,3上任取一点的可能性是相等的,若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段2,3上.所以,在线段0,3上任取一点,则此点坐标不小于2的概率应是线段2,3的长度与线段0,3的长度之比,即为.答案：A8.圆O有一内接正三角形,向圆O随机投一点,则该点落在内接正三角形内的概率是_.解析：向圆内投点,所投
